Encontrando $f'''(x)$ de $f(x)=\sin{\pi}x$

Question

Encontrar $f'''(x)$ de $f(x)=\sin{\pi}x.

Primero $$f'(x)=\frac{d\sin{\pi}x}{d({\pi}x)}\frac{d({\pi}x)}{dx} ={\pi}\cos{\pi}x$$

Segundo $$f''(x)=-{\pi^2}\sin{\pi}x$$

Tercero $$f'''(x)= -{\pi^3}\cos {\pi}x$$

Estos son los pasos que el profesor ha escrito en la pizarra, tengo problemas para entender "Cómo se resuelve". ¿Podrías proporcionar los pasos, por favor?

Answer 1

$$ \begin{align*} f(x) = \sin\pi x \end{align*} $$

Aquí, nota que $\pi$ es una constante. Así que trátala como un coeficiente de $x$. Progresivamente, lo que haré es:

• Aislar el coeficiente ya que no está involucrado en la diferenciación
• Aplicar la regla de la cadena diferenciando la función trigonométrica, seguida de la función "dentro" de la función trigonométrica - el $\pi x$. Nota que $\frac{d}{dx}\begin{pmatrix}\pi x\end{pmatrix} = \pi$.

$$ \begin{align*} f(x) &= \sin\pi x \\ f'(x) &= (\cos \pi x) \times \pi \space\space\tag{por la regla de la cadena}\\ &= \pi \cos \pi x \\\\\\f''(x) &= \pi (-\sin \pi x)(\pi) \space\space\tag{por la regla de la cadena}\\ &= -\pi^2 \sin \pi x \\\\\\f'''(x) &= \pi^2 (-\sin \pi x)(\pi) \space\space\tag{por la regla de la cadena}\\ &= -\pi^3 \cos \pi x \end{align*} $$

Y así es como se hace.

Comentarios

Añadiré comentarios aquí para abordar algunas de tus preguntas futuras:

Primero, entiende que $\cos$ es una función trigonométrica. Te recomendaría escribir $f(x)$ y $f'(x)$ como una función compuesta. Haré la más sencilla

Si $p(x)$ = $\pi x$ y $q(x) = \sin x$, entonces $f(x) = q(p(x))$. Para diferenciar $f(x)$, aplica la regla de la cadena.$$`\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} q(\pi x) \times \frac{d}{dx} \pi x$$