Sumatoria Anidada

Question

Tengo la siguiente suma anidada: $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}\sum_{k=1}^{j}x = x+1$$

No tengo ni idea de cómo resolver esta, ¿alguien puede ayudarme?

Gracias de antemano. ${}{}$

Answer 1

Voy a usar las reglas encontradas en esta página.

Primero, note que $x$ no está en la base o límite de ninguna de las sumatorias, por lo que se puede "sacar": $$x\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^j 1= x+1$$

Trabaje de adentro hacia afuera, simplificando la suma: $$\sum_{k=1}^j 1 = j$$ $$\sum_{j=1}^ij = \frac{i(i+1)}{2}=\frac{1}{2}\cdot\left(i^2 + i\right)$$ $$\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}\cdot\left(i^2 + i\right) = \frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^ni^2+\sum_{i=1}^ni\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}\right)$$

Ahora hemos terminado, y podemos sustituir de nuevo:

$$\frac{x}{2}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}\right)=x+1$$

Ahora, resolviendo para $x$: $$x\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{12} + \frac{n(n+1)}{4} - 1\right)=1$$ $$\begin{align*} x &= \frac{1}{\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{12} + \frac{n(n+1)}{4} - 1\right)} \\ &= \frac{6}{n^3 + 3 n^2 + 2 n - 6} \end{align*}$$

Answer 2

Después de un pequeño reordenamiento tenemos

$$\begin{align*} 1+\frac1x&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^j1\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ij\\ &=\sum_{1=1}^n\frac{i(i+1)}2\\ &=\frac12\left(\sum_{i=1}^ni^2+\sum_{i=1}^ni\right)\\ &=\frac12\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}6+\frac{n(n+1)}2\right)\\ &=\frac1{12}\Big(n(n+1)(2n+1)+3n(n+1)\Big)\\ &=\frac{n(n+1)}{12}(2n+4)\\ &=\frac16n(n+1)(n+2)\\ &=\binom{n+2}3\;, \end{align*}$$

así que

$$\begin{align*} x&=\frac1{\binom{n+2}3-1}\\ &=\frac6{n(n+1)(n+2)-6}\\ &=\frac6{n^3+3n^2+2n-6}\\ &=\frac6{(n-1)(n^2+4n+6)}\;. \end{align*}$$

Answer 3

Esta pregunta se puede resolver de una manera diferente. Tu ecuación es equivalente a $1+\frac1x=\sum_{(i,j,k)\in A}1=|A|$

Donde $A={(i,j,k)| 1\leq k \leq j\leq i\leq n }$

Entonces, $|A|= ^nC_3 +2^nC_2+^nC_1$ Esto se debe a que podemos elegir 3 valores distintos de i,j,k o valores distintos de i con el mismo j y k, o valores distintos de k con el mismo i y j, o i=j=k.

Entonces obtenemos $1+\frac1x=^nC_3 +2^nC_2+^nC_1=^{n+2}C_3$