¿Es posible explicar geométricamente por qué $\arctan(1/2) + \arctan(1/3) = 45$ grados?

Question

$\arctan(1/2)$ parece ser un ángulo extraño e irracional, y lo mismo ocurre con $\arctan(1/3)$, pero estos dos ángulos parecen sumar $45$ grados. Esto me parece un misterio a pesar de que puedo derivar el resultado algebraicamente de la siguiente manera, utilizando la fórmula de sumación para la función tangente.

$\tan\big(\arctan(1/2)+\arctan (1/3)\big)=\dfrac{5/6}{1 - 1/6}=1\,.$

¿Alguien puede encontrar una explicación geométrica?

Un comentario: Empecé a pensar en el enigma arctan descrito mientras intentaba resolver un problema en análisis complejo, a saber, este:

¿Cómo encontrar una transformación conforme que mapee la región entre |z + 3| < 10 y |z 2| < 5 en el interior del primer cuadrante?

Answer 1

Hay muchas representaciones geométricas buenas; mi favorita evoca el familiar símbolo de la Cruz Roja. Este símbolo consiste en un bloque cuadrado central que comparte cada uno de sus bordes con otro bloque congruente adicional. Superponemos el triángulo rectángulo $ABC$ y etiquetamos algunos vértices adicionales $D,E,F$ como se muestra a continuación.

$\triangle \space ACD$ y $CBE$ son triángulos rectángulos con patas congruentes, por lo tanto triángulos congruentes por SAS; así sus hipotenusas, que también son patas del triángulo rectángulo $\triangle ABC$, son congruentes. Entonces el ángulo agudo $BAC$ mide $45°$. Pero el componente de ese ángulo dentro del triángulo rectángulo $\triangle ACD$ mide $\arctan(1/2)$ y el componente restante dentro del triángulo rectángulo $\triangle ABF$ mide $\arctan(1/3)$. Por lo tanto $\arctan(1/2)+\arctan(1/3)=45°$.

Answer 2

Tomemos $\triangle ABC$ con $AB=3, BC=4, CA=5, \angle B = 90^\circ$. Que los bisectores de ángulo $AI, BI, CI$ se encuentren en el incentro $I$. Desde $I$ tracen perpendiculares $ID,IE,IF$ en los lados. El inradio es $ID=IE=IF=1$. Claramente $BFID$ es un cuadrado, entonces $BF=BD=1$, $AF=AE=2$, $CD=CE=3$. Esto lleva a los ángulos como en el siguiente diagrama.

Así $\frac{A}{2}=\tan^{-1} \frac{1}{2}$, $\frac{C}{2}=\tan^{-1} \frac{1}{3}$. Pero $A+C=\frac{\pi}{2}$ significa $$\frac{A}{2}+\frac{C}{2}=\tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}=\frac{\pi}{4}$$ Como bonificación, sumando los seis ángulos formados en el incentro da $$2\tan^{-1} 1 + 2\tan^{-1} 2 +2\tan^{-1} 3 =2\pi$$ $$\Rightarrow \tan^{-1} 1 + \tan^{-1} 2 +\tan^{-1} 3 =\pi$$

Disecciones similares de otros triángulos rectángulos $\{(5,12,13),$ $(7,24,25), \ldots\}$ darán nuevas identidades que involucran $\tan^{-1} (\text{número racional})$.

Answer 3

Solo un comentario sobre la hermosa respuesta de @Oscar Lanzi:, si agregamos cuatro tiras de ancho $1$ y longitud $x$ a un cuadrado de lado $1$, obtenemos nuevamente una cruz con un cuadrado inscrito, y la igualdad

$$\arctan \frac{1}{2x + 1} + \arctan\frac{x}{x+1} = \frac{\pi}{4}$$

$\bf{Agregado:}$ En la imagen de abajo, los segmentos amarillos tienen longitud $1$, los azules claro tienen longitud $x$.

$\bf{Agregado:}$ Con el mismo método, con cuidado, podemos demostrar la fórmula de adición para la tangente. De hecho, considera dos rectángulos con lados $a$, $b$ , y dos con lados $t a$, $t b$. (en la imagen de abajo, lados $2,5$ y $4$, $10 $) . Acomódalos de modo que de sus diagonales obtengamos un rectángulo con una relación de los lados $t$. Entonces obtenemos la fórmula

$$\arctan \frac{a}{b} + \arctan\frac{t b - a}{t a + b} = \arctan t$$

En nuestro caso

$$\arctan\frac{2}{5} + \arctan\frac{8}{9} = \arctan 2$$

Nota: Si partimos de una cruz simétrica arbitraria es posible que no obtengamos un rectángulo, sino solo un paralelogramo, así que modificamos un poco el enfoque. En general, para obtener una cruz que produzca un rectángulo girado, comienza con un rectángulo contenedor e interseca sus lados con un círculo central.

Answer 4

Con $0 < a < b,$

$$ \arctan \frac{a}{b} + \arctan \frac{-a+b}{a+b} = \frac{\pi}{4} $$

como vectores, para sumar los ángulos, necesitamos calcular el ángulo entre los vectores $v=(-1,2)$ y $w=(1,3).$ Esto es lo que estaba haciendo al responder tu pregunta anterior.

$$ \cos \theta = \frac{v \cdot w}{|v| \; |w|} = \frac{5}{ \sqrt 5 \; \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} $$

entonces $$ \cos \theta = \frac{5}{5 \sqrt 2} = \frac{1}{ \sqrt 2} $$

Obtenemos algo similar con $v=(-1,5)$ y $w=(2,3).$

O con $v=(2,5)$ y $w=(-3,7).$

O con cualquier enteros $0 < a < b,$ vectores $v=(a,b)$ and $w=(a-b,a+b).$

Answer 5

Solo para añadir a la variedad de muchas respuestas geométricas excelentes, exprese las medidas de los siguientes tres ángulos en términos de arcotangente y compare los resultados:

$$ \angle CAD, \angle DAB, \angle CAB $$