El primer teorema de incompletitud de Gödel establece que ciertos sistemas formales no pueden ser a la vez consistentes y completos al mismo tiempo. Uno podría pensar que esto es fácil de demostrar, al dar un ejemplo de una declaración autorreferencial, por ejemplo: "No soy demostrable". Pero la prueba original es mucho más complicada:
Se demostró construyendo una declaración que se refería indirectamente a sí misma como 'Esta declaración no puede ser demostrada' - para ser más precisos, dice: 'La $i$-ésima proposición no es demostrable'.
Si nos fijamos solo en esta oración, ciertamente no es autorreferencial, pero si observamos cómo se numeraron todas las proposiciones, podemos ver que $i$ es el número de la proposición anterior, por lo que la autorreferencia no es directa. ¿Es esto lo que hace que el teorema sea tan importante y la razón por la cual la prueba es tan complicada - el hecho de que declaraciones que no contienen ninguna autorreferencia directa aún pueden referirse indirectamente a sí mismas?
