Subnormalidad de los normalizadores

Question

Sea $G$ un grupo finito. $N$ es un subgrupo normal minimal no abeliano de $G$ y $P$ es un subgrupo de Sylow no trivial de $p$ de $N$.

Cualquier subgrupo normal minimal de $G$ es un grupo característicamente simple, por lo que, por mi pregunta anterior, sabemos que $P$ no es subnormal en $N$.

¿Pero por qué se sigue que $N_G(P)$ no es subnormal en $G$?

Cualquier ayuda es apreciada. ¡Gracias!

Answer 1

Gracias por el comentario de Derek Holt.

Lo demostramos por contradicción.

Supongamos que $N_G(P)$ sea un subgrupo subnormal de $G$. Entonces existen $A_1,...,A_d$ tal que $$N_G(P)=A_1\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq A_d=G.$$

Se sigue que \begin{align}N_N(P)=\{x\in N\vert P^x=P\}= \{x\in G\vert P^x=P\} \cap N=N_G(P)\cap N=A_1\cap N\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq A_d\cap N=G\cap N=N.\end{align}Por lo tanto $N_N(P)$ es un subgrupo subnormal de $N$.

Por otro lado, $P$ no es subnormal en $N$, entonces $P\not\trianglelefteq N$, lo cual implica que $N_N(P), es decir, $N_N(P)$ es un subgrupo propio de $N$. Dado que $P$ es un $p$-subgrupo de Sylow de $N$, $N_N(P)$ es auto-normalizable en $N$, y por lo tanto $N_N(N_N(P))=N_N(P). Así que $N_N(P)$ no puede no ser un subgrupo subnormal de $N$.

Se ha encontrado una contradicción. Por lo tanto, $N_G(P)$ no es subnormal en $G$.