Propiedades de la solución de una ecuación diferencial

Question

Considera el problema de valor inicial $y'' = - y$ con $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$, $0 \leq x \leq \pi$. Sin resolver la ecuación diferencial, muestra que $y$ es simétrica alrededor de $m$, donde $y'(m) = 0.

Answer 1

Al iterar en $y''=-y$, vemos que $y$ es infinitamente diferenciable. Expanda $y(m+x)$ alrededor de $m$: $$ y(m+x)=y(m)+y'(m)x+\frac{y''(m)}{2}x^2+\frac{y'''(m)}{3!}x^3+\ldots $$ Porque $y'(m)=0$ y $y''=-y$, todas las derivadas de orden impar desaparecen. Esto implica que $y(m+x)=y(m-x)$.

Answer 2

El problema del valor inicial $$ y''=-y,\quad y(m)=y_0,\,\, y'(m)=0,\qquad (\star) $$ disfruta de unicidad. Sea $\psi$ una solución y definamos $\varphi(x)=\psi(2m-x)$. Claramente $$ \varphi''(x)=\psi''(2m-x)=-\psi(2m-x)=-\varphi(x),\\ \varphi(m)=\psi(2m-m)=\psi(m)=y_0,\\ \varphi'(m)=-\psi(2m-m)=\psi(m)=0. $$ Por lo tanto, $\varphi$ también satisface $(\star)$, y por lo tanto $\varphi\equiv\psi$, debido a la unicidad.