Sea $ U\subseteq \mathbb{R}^n $ abierto y $ f\in \mathcal{C}^1(U) $ con $ c>0 $ tal que para todo $ x,y\in U $ se cumple $ \|f(x)-f(y)\|\geq c \cdot \|x-y\| $. Ahora sea $ Df(x)\in \text{GL}_n(\mathbb{R}) $ para todo $ x\in U $.
Si $ U=\mathbb{R}^n $ entonces $ f $ es biyectiva.
Mis ideas:
1.) Para demostrar que $ f $ es inyectiva utilizo: Para todo $ x,y\in \mathbb{R}^n $ con $ x\neq y $ se cumple $ 0 de manera que $ f(x)\neq f(y) $ y listo. Pero no tengo idea de cómo demostrar que $ f $ es sobreyectiva.
2.) Intento utilizar el Teorema de la función inversa. Pero tengo el siguiente problema con el cual no puedo lidiar. Este teorema incluye que para un punto $ x_0\in U $ existe un conjunto abierto $ \tilde{U}\subseteq U $ tal que $ f_{|\tilde{U}} \tilde{U}\to f(\tilde{U}) $ es biyectivo y la inversa local de f llamada $ g:f(\tilde{U})\to \tilde{U} $ es continuamente diferenciable. Pero no veo por qué se aplicaría que $ f(\mathbb{R}^n)=\mathbb{R}^n $. Aquí solo tengo el valor de entrada $ x_0\in \mathbb{R}^n $ lo cual no me ayuda especialmente para demostrar que f es sobreyectiva.
