Mostrar que $f$ es biyectiva

Question

Sea $U\subseteq \mathbb{R}^n$ abierto y $f\in \mathcal{C}^1(U)$ con $c>0$ tal que para todo $x,y\in U$ se cumple $\|f(x)-f(y)\|\geq c \cdot \|x-y\|$. Ahora sea $Df(x)\in \text{GL}_n(\mathbb{R})$ para todo $x\in U$.

Si $U=\mathbb{R}^n$ entonces $f$ es biyectiva.

Mis ideas:

1.) Para demostrar que $f$ es inyectiva utilizo: Para todo $x,y\in \mathbb{R}^n$ con $x\neq y$ se cumple $0 de manera que$ f(x)\neq f(y) $y listo. Pero no tengo idea de cómo demostrar que$ f $ es sobreyectiva.

2.) Intento utilizar el Teorema de la función inversa. Pero tengo el siguiente problema con el cual no puedo lidiar. Este teorema incluye que para un punto $x_0\in U$ existe un conjunto abierto $\tilde{U}\subseteq U$ tal que $f_{|\tilde{U}} \tilde{U}\to f(\tilde{U})$ es biyectivo y la inversa local de f llamada $g:f(\tilde{U})\to \tilde{U}$ es continuamente diferenciable. Pero no veo por qué se aplicaría que $f(\mathbb{R}^n)=\mathbb{R}^n$. Aquí solo tengo el valor de entrada $x_0\in \mathbb{R}^n$ lo cual no me ayuda especialmente para demostrar que f es sobreyectiva.

Answer 1

Gran pista :

Un mapa $C^1$ $f:\Bbb{R^n}\to \Bbb{R^n}$ es globalmente invertible (más específicamente un $C^1$-difeomorfismo) si y solo si el determinante de la matriz jacobiana nunca se anula y $\|f(y) \|\to \infty$ a medida que $\|y\|\to \infty$

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