Urgente - Encuentra la ecuación de las líneas tangentes a un círculo

Question

Pregunta: 'Encuentra la ecuación de las rectas desde el punto $P(0,6)$ tangentes al círculo $x^2+y^2=4x+4$.

Lo primero que hice fue reescribirlo en la forma $(x-2)^2 + y^2 = 8$, y vi que el punto $P$ no está en el círculo. Aprendí que la ecuación de la recta tangente al círculo $x^2+y^2=r^2$ desde el punto $P(a,b)$ es $xa+yb=r^2$

$ xa+yb=4x+4$

$x.o+y.6=2x+2.0 +4$ (Este es el paso que no entiendo)

$6y=2x+4$

$y=\dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{3}$

Entonces, básicamente, mi pregunta es: ¿Por qué el $4x+4$ cambió a $2x+4$?

Answer 1

La ecuación de cualquier recta que pase por $(0,6)$ se puede escribir como $\frac{y-6}{x-0}=m$ donde $m$ es la pendiente, entonces, $y=mx+6$

Si $(h,k)$ es el punto de contacto, entonces $k=mh+6$ y $h^2+k^2-4h-4=0

Reemplazando $k$ en la segunda ecuación, $h^2+(mh+6)^2-4h-4=0$

o $(1+m^2)h^2+2h(6m-2)+32=0$, es una ecuación cuadrática en $h$

Para la tangencia, ambas raíces deben ser iguales, por lo tanto, $4(6m-2)^2=4\cdot(1+m^2)32$

$(6m-2)^2=(1+m^2)32, (3m-1)^2=8(1+m^2) \implies m^2-6m-7=0

Entonces, $m=7,-1$

Si $m=7,\frac{y-6}{x-0}=7, 7x-y+6=0$

Si $m=-1,\frac{y-6}{x-0}=-1, x+y-6=0$

Answer 2

Su círculo tiene centro $c = (2,0)$ y radio $r = 2\sqrt{2}$.

Si $(x,y)$ está en el círculo, la línea $$ (x,y) + (y - c_y,c_x - x)t $$ es una tangente, ya que $(y - c_y, c_x - x)\cdot(x - c_x, y - c_y) = 0$. Ahora, como además quieres que $p = (p_x,p_y)$ esté en esa línea, obtienes la ecuación $$ (x,y) + (y - c_y,c_x - x)t = (p_x,p_y) $$

Alternativamente, puedes caracterizar directamente las líneas requiriendo que $(x,y) - (p_x,p_y)$ sea normal al radio a través de $(x,y)$, es decir, a $(x-c_x,y-c_y)$. De esta manera, obtienes $$ (x-p_x,y-p_y)\cdot(x-x_c,y-c_y) = 0 $$

Nótese que estas ecuaciones no describen realmente la línea, describen un segundo punto $(x,y)$, además de $P$, en la línea. Pero una vez que tengas eso, la línea se describe fácilmente. También ten en cuenta que estas ecuaciones en sí mismas no obligan a $(x,y)$ a estar en el círculo. Siempre se supone que se utilizan juntas con tu ecuación original para el círculo.