Doble Integral de una función a trozos?

Question

Sea $I=[0,1]\times[0,1]$ y sea $$f(x)= \begin{cases} 0, & \text{si (x,y)=(0,0)}\\ \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}, & \text { si (x,y)$\not=$(0,0)}\\ \end{cases}$$ Necesito mostrar que $$\int^1_0\int^1_0 f(x,y)dxdy=\int_0^1\int_0^1 f(x,y)dydx.$$ No puedo integrar $$\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dx.$$ Estoy pensando que tal vez podría usar coordenadas polares mediante $r^2=x^2+y^2$.

Answer 1

Usa una sustitución trigonométrica: $x=y \tan{t}$. Entonces la integral interna se convierte en

$$-\frac1y \int_0^{\arctan{(1/y)}} dx \: \cos{2 t} = -\frac{1}{1+y^2}$$

Deberías ser capaz de hacer la integral externa a partir de aquí.

Answer 2

Tenga en cuenta que la actual $f$ es anti-simétrica respecto a $y=x$. Fubini no se aplica ya que $f$ no es localmente integrable en $0$. De hecho, las integrales iteradas estarán desfasadas por un factor de $-1$.