Puntos óptimos de $x_1+4x_2+9x_3$

Question

Quiero encontrar los "máximos" y "mínimos" locales y globales de $f(x_1,x_,x_3) = x_1+4x_2+9x_3$ sujeto a $1/x_1+1/x_2+1/x_3=1$

Ya he encontrado que no existen "máximos" y "mínimos" globales, porque al establecer $x_1=1, x_2=-x_3$ podemos llegar a $+\infty$ o $-\infty$.

Ahora, no estoy seguro de cómo proceder para encontrar los "máximos" y "mínimos" locales. Hice lo siguiente:

$x_1$ = $x_3x_2 \over {x_3x_2-x_3-x_2}$ y lo sustituí en el objetivo.

$f$ = $x_3x_2 \over {x_3x_2-x_3-x_2}$$ +4x_2+9x_3$

Tomé las derivadas con respecto a $x_2,$ y $x_3$ y las igualé a $0$. Luego obtuve:

$x_3^2 \over (x_3x_2-x_3-x_2)^2$ $=4$

$x_2^2 \over (x_3x_2-x_3-x_2)^2$ $=9$

Encontré dos soluciones $(6,3,2)$ y $(-4, 4/3, 2)$. Verifiqué mi respuesta con wolframalpha

Aparentemente $(6,3,2)$ es un mínimo local y $(-4, 4/3, 2)$ es un punto de silla, pero ¿cómo puedo encontrar el máximo local? Según wolfram, está en (0.535396, 1.62726, -0.674539) a pesar de que la derivada no es cero en este punto

Answer 1

Para variables positivas por C-S obtenemos: $$x_1+4x_2+9x_3=\left(x_1+4x_2+9x_3\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)\geq(1+2+3)^2=36.$$ La igualdad ocurre para $(x_1,x_2,x_3)=(6,3,2),$ lo cual indica que obtuvimos un valor mínimo.

El valor máximo no existe.

Tomemos $x_1=x_2\rightarrow+\infty$ y $x_3\rightarrow1.$

Si nuestras variables pueden ser negativas, entonces el valor mínimo no existe.

Tomemos $x_1=x_2\rightarrow-\infty$ y $x_3\rightarrow1$.