Mostrando relaciones de equivalencia a=b / a=-b

Question

Tengo esta relación de equivalencia donde $S=\mathbb{R}$ y $a\sim b$
$ \iff a=b$ o $a=-b$

Sé que esta es una relación de equivalencia y que también es muy simple, pero estoy confundido sobre cómo probar la reflexividad, simetría y transitividad. ¿Cómo puedo ver qué significa realmente $a\sim a$? ¿Verifico que al sustituir $a$ por $b$ todavía funcione o? ¿Pero seguramente esto significaría $a=-a$?

Disculpen la confusión, pero si alguien tiene tiempo para ofrecer alguna información, ¡lo agradecería mucho!

Answer 1

¿Cómo puedo ver qué significa realmente $a\sim a$?

$a\sim a$ es una afirmación. Una afirmación puede ser verdadera o falsa. Lo que esa afirmación significa está definido por lo que $\sim$ significa, y en tu caso, para cualquier $a,b$ arbitrarios, la afirmación "$a\sim b$" es igual a la afirmación "$a=b$ o $a=-b$. Por lo tanto, la afirmación $a\sim a$ es la afirmación $a=a$ o $a=-a$.

Nótese que hay un o, no un y, conectando las dos subafirmaciones, una siendo $a=a$ y la otra $a=-a$.

Para que una afirmación $A$ o $B$ sea verdadera, sólo una de las afirmaciones $A$, $B$ necesita ser verdadera. Por lo tanto, siguiendo esto, vemos que $a\sim a$ es una afirmación verdadera si solo una de las afirmaciones "$a=a$", "$a=-a$" es verdadera. Claramente, una de ellas ($a=a$) es verdadera, y por lo tanto, $a\sim a $ también es verdadera. Independientemente de si la otra, $a=-a$, es verdadera o no.