El problema es difícil porque el modelo es no lineal $\cdots$ debido al parámetro $b$. Solo supongamos que lo fijas en un valor dado; luego el modelo se vuelve lineal y puedes calcular los valores de $a(b)$ y $c(b)$, así como el valor de la función objetivo $\Phi(b)$ que deseas minimizar.
Entonces, ejecuta diferentes valores de $b$ hasta que notes que la función $\Phi(b)$ alcanzó un mínimo. En este punto, entonces tienes buenas estimaciones de los tres parámetros y puedes comenzar un procedimiento no lineal. Si no quieres, puedes refinar la solución utilizando el método de Newton-Raphson para tres ecuaciones (las derivadas) y las incógnitas $(a, b, c)$.
Este es un método que suelo utilizar cuando el modelo es no lineal con respecto a un pequeño número de parámetros (si es más de uno, genera el valor de la función en una cuadrícula). Esto funciona bastante bien.
Déjame mostrarte el último modelo para el cual utilicé este procedimiento.
$$P=\rho RT+(B_0RT-A_0-\frac{C_0}{T^2}+\frac{D_0}{T^3}-\frac{E_0}{T^4})\rho^2+(bRT-a-\frac dT)\rho^3+$$ $$\alpha(a+\frac dT)\rho^6+\frac{c \rho^2}{T^2}(1+\gamma \rho^2)e^{-\gamma \rho^2}$$ y los datos son $(T_i, \rho_i, P_i)$ ($R$ siendo la constante del gas ideal). El modelo es lineal con respecto a todos los parámetros excepto $\gamma$. Funcionó muy bien.
Este procedimiento tiene (al menos para mí) la ventaja de utilizar las características estándar de los modelos lineales. Puedes cambiarlo a uno más matemático: usa $\Phi'_a$ y $\Phi'_c$ para expresarlo todo en términos de $b$ y solo te enfrentas al problema de resolver $\Phi'_b=0$ para $b.
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Ejemplo para ilustración
Usando los datos dados en la página 17 del libro de JJacquelin, solo realicé algunos cálculos para valores específicos de $b$. Los mejores tres puntos encontrados corresponden a $b=1.50$ ($SSQ=0.183835$), $b=1.75$ ($SSQ=0.135040$), $b=2.00$ ($SSQ=0.164380$); para $b=1.75$, $a=0.328$ y $c=0.556$. Comenzar la regresión no lineal con estos valores hace que el problema converja en tres iteraciones y el modelo final es $$y=0.337706 +0.542859 e^{1.77478 x}$$ lo que corresponde a una suma de cuadrados igual a $0.134660$.
Editar
El problema clave es saber dónde empezar a buscar un valor razonable para el parámetro $b$. Siendo el modelo general $$y=ae^{bx}+c$$ consideremos tres puntos de datos indexados por $i, j, k$; entonces podemos escribir $$\frac{y_i-y_j}{y_i-y_k}=\frac{e^{bx_i}-e^{bx_j}}{e^{bx_i}-e^{bx_k}}=\frac{1-e^{b(x_j-x_i)}}{1-e^{b(x_k-x_i)}}$$ Ahora selecciona $x_k=\frac{x_i+x_j}2$; esto conduce a $$\frac{y_k-y_j}{y_i-y_k}=e^{b\frac{x_j-x_i}2}$$ luego $b$. Incluso si no hay tal $x_k$ en la tabla, podemos aproximarla.
Para el ejemplo de JJacquelin, tomé para $x_i$ y $x_j$ los primer y últimos valores ($-0.99$ y $0.981$) y usé $y_k=0.911$ correspondiente al $x$ más cercano a $-0.0045$. Esto da $b=1.7077$; reutilizando los puntos finales da $a=0.6063$ y $c=0.3062$ que no están nada mal como primeras suposiciones.
