¿Hay una aproximación a la función logaritmo natural en valores grandes?

Question

En valores pequeños cercanos a $x=1$, puedes usar la expansión de Taylor para $\ln x$:

$$ \ln x = (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + ....$$

¿Existe alguna expansión o aproximación válida para valores grandes (o en el infinito)?

Answer 1

Casi como respondió Semiclassical, escriba $x=A \times 10^{n-1}$ donde $n$ es el número de dígitos antes del punto decimal, es decir $1\leq A < 10$ y use la expansión convergente muy rápida $$\log \left(\frac{1+y}{1-y}\right)=2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{y^{2 k+1}}{2 k+1}$$ con $y=\frac{A-1}{A+1}$.

Tomemos un ejemplo: $x=123456789$; entonces $A=1.23456789$ y $n=8$; así que $y \approx 0.104972$. Ahora, veamos el valor de $$S_p=2\sum_{k=0}^{p}\frac{y^{2 k+1}}{2 k+1}$$ Para los primeros valores de $p$, las sumas son sucesivamente $0.2099447424$, $0.2107158833$, $0.2107209817$, $0.2107210219$, $0.2107210222$ que es la solución para diez lugares decimales exactos.

Por lo tanto, al final $$\log^{(p)}(x)=(n-1)\log(10)+ S_p$$ lo que lleva a los valores sucesivos de $18.63062549$, $18.63139663$ ,$18.63140173$, $18.63140177$, $18.63140177$ para un valor exacto igual a $\approx 18.63140177$.

Answer 2

Para cualquier $x$ positivo

$\ln \left( x \right) \approx a{x^{\frac{1}{a}}} - a$
donde $a$ es una constante grande cualquier

Cuanto mayor sea $a$, mejor será la aproximación.

Answer 3

No hay una aproximación polinomial o racional para $\ln(x)$ que sea precisa para todos los valores grandes de $x$.

Esto se sigue del hecho de que $\ln(x)=o(x^{\epsilon})$ para todo $\epsilon > 0$.

Answer 4

Un enfoque rudimentario es asumir la notación científica: Si $x=A \times 10^n$ donde $1\leq A < 10$. Entonces $\ln x = \ln A + n\ln 10\approx 2.3n$. Para ser un poco más preciso, sabemos que $\ln x\in [n \ln 10,(n+1)\ln 10)$.

Answer 5

La serie de Taylor para $\ln(\cdot)$ en las cercanías del punto $a$ es

$$\ln(x+a) =\ln(a) + 2 \cdot \left(y+\frac{y^3}{3}+\frac{y^5}{5}+\frac{y^7}{7} + \ldots + \frac{y^{2n+1}}{2n+1}\right), \text{ donde } y=\frac{x}{x+2a}$$

Así que para una convergencia rápida, necesitamos los logaritmos de los primeros $26$ números primos: $2,3,5,7,\ldots$.