Creo que puedo demostrar que una función armónica $u$ $\mathbf{R}^n$ que satisface $|u(x)|\leqslant C \ln(|x|+1)$ es constante. Pero, ¿qué podemos decir acerca de $u$ cuando el valor absoluto signo de $u$ se cancela? Aun así, podemos decir que el $u$ es constante? Cualquier comentario o referencias que será apreciado.
Respuestas
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Tenemos el siguiente teorema (que es una pequeña generalización del clásico teorema de Liouville para positivo armónica de funciones [véase, por ejemplo, en el capítulo 3 de Axler, Bourdon y Ramey de la Armónica de la Teoría de la Función]; puede ayudar a leer que prueba primero para tener una idea del enfoque básico):
Teorema Deje $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ ser (no necesariamente estrictamente) creciente función continua tal que $\lim_{r\to\infty} f(r)/r = 0$. Deje $u:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}$ ser armónico, de tal manera que $u(x) \geq - f(|x|)$, $u$ es constante.
Prueba: se Observa que el $u(x) + f(|x|)$ es un continuo, no negativo de la función.
Considere la posibilidad de $u(x) - u(z)$ fijos $x,z$. Utilizando el valor medio de la propiedad para armónica de funciones, escribir
$$ |B_R|(u(x) - u(z)) = \int_{B_R(x)} u(y) dy - \int_{B_R(z)} u(y) dy $$
El lado derecho podemos reescribir
$$ = \int_{B_R(x)} u(y) + f(y) - f(y) dy - \int_{B_R(z)} u(y) + f(y) - f(y) dy $$
que es
$$ \leq \int_{B_R(x)\setminus B_R(z)} u(y) + f(y) dy + \int_{B_r(z) \setminus B_r(x)} f(y) dy $$
Escrito $A\delta B$ para la misma diferencia de $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$, obtenemos
$$ \leq \int_{B_R(x) \delta B_R(z)} u(y) + 2f(y) dy $$
Definir $w = \max(|x|,|z|)$. Ahora usando ese $B_R(x) \delta B_R(z) \subset B_{R+ w}(0) \setminus B_{R-w}(0)$, tenemos
$$ \leq \int_{B_{R+ w}(0) \setminus B_{R-w}(0)} u(y) + 2f(y) dy $$
Para el $u$ plazo, se utiliza el valor medio de la propiedad de nuevo. Para $f$, estimado por un supremum, se obtiene
$$ \leq (u(0)+2f(R+w)) \left( |B_{R+ w}| - |B_{R- w}|\right) $$
Observar que $|B_{R+ w}| - |B_{R- w}| = O(R^{n-1})$, por nuestra suposición sobre la $f$ hemos
$$\lim_{R\to\infty} (u(0) + 2f(R+w))\frac{|B_{R+ w}| - |B_{R- w}|}{|B_R|} = 0$$
y por lo tanto
$$ u(x) - u(z) \leq 0 $$
Desde la derivación es simétrica en $x$$z$, esto implica que $u(x) = u(z)$. q.e.d.
user3035
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91
En dos dimensiones, una función que todavía tiene que ser constante. Deje $v(z)$ ser la armónica conjugada de $u(z)$. A continuación, ${\displaystyle f(z) = e^{u(z) + i v(z)}}$ es toda una función, y $$|f(z)| = e^{u(z)} \leq e^{C\ln(|z| + 1)}$$ $$\leq K(1 + |z|)^C$$ Aquí $K$ es una constante. Es un ejercicio estándar para mostrar que todo el conjunto de funciones que crecen exponencialmente en sí son polinomios, por lo $f(z)$ debe ser un polinomio.
Si $z_0$ es cualquier cero de $f(z)$,$\lim_{z \rightarrow z_0} e^{u(z)} = |f(z)| = 0$, lo $\lim_{z \rightarrow z_0} u(z) = -\infty$. Por lo tanto $u(z)$ no puede ser continua en $z_0$, una contradicción.
Por lo tanto la única posibilidad es que $f(z)$ es constante, así que lo mismo es cierto para $u(z)$.
Kostyantyn
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206
Como regla general, si queremos controlar el comportamiento de una función armónica en un lado y luego tenemos el mismo control sobre el otro lado por la desigualdad de Harnack. Más rigurosamente:
En su caso particular, tenemos $u$ armónico y $u \geq -\log(1+|x|)$. Suponga $u(0) = a$. Supongamos que en un punto de $x$ $B_R$ tenemos $u(x) = C$. Deslizando $u$$\log(1+2R) + 1$, se obtiene un resultado positivo armónico de la función en $B_{2R}$ con el valor de$a + 1 + \log(1+2R)$$0$. Por la desigualdad de Harnack, tenemos $$C + \log(1+2R) + 1 \leq K(a + 1 + \log(1+2R))$$ que nos dice que $u$ crece en el peor de forma logarítmica, la reducción del problema para el caso de $|u| \leq C(1+\log(1+2R))$. El estándar de la prueba del teorema de Liouville se aplica una vez que tenemos las dos caras obligado.
