Puntos aleatorios uniformes en un toro

Question

Estoy eligiendo puntos al azar en un toro seleccionando dos ángulos al azar. El problema con este enfoque es que los puntos más cercanos al "agujero" tienen más probabilidad de ser elegidos. ¿Existe un método que haga que cualquier punto tenga la misma probabilidad de ser seleccionado?

Answer 1

Mi respuesta anterior fue para un anillo plano 2-D, pero un método similar funciona para la superficie de un toro.

Supongamos que el toro tiene una distancia $R$ desde el centro del tubo hasta el centro del toro y una distancia $r$ desde el centro del tubo hasta la superficie del tubo con $r \le R$. Los puntos en la superficie pueden ser especificados por ángulos aleatorios $(\Theta, \Phi)$ elegidos adecuadamente

$\Phi$ como el ángulo alrededor del toro desde el origen puede ser elegido uniformemente en $[0,2\pi)$, es decir, con densidad $$f(\phi) = \frac{1}{2 \pi} \text{ para } 0 \le \phi \lt 2\pi.$$ Pero $\Theta$ como el ángulo alrededor de la sección transversal circular del tubo (digamos que se mide desde lejos del origen) es más complicado

$\Theta$ podría tener una densidad $f(\theta)$ proporcional a $2 \pi\, r(R+r \cos \theta)$. Si $\Theta$ debe estar entre $0$ y $2\pi$ entonces esto hace que $$f(\theta) = \frac{R+r\cos \theta}{2 \pi R} \text{ para } 0 \le \theta \lt 2\pi.$$ Desafortunadamente, la función de distribución acumulativa para $\Theta$ no tiene una inversa en forma cerrada, pero aún puedes elegir valores de esta densidad, por ejemplo, usando muestreo por rechazo:

• En la práctica, elige $U,V,W$ uniformemente e independientemente en $[0,1]$
• Deja que $\Theta = 2\pi U$ y $\Phi = 2\pi V$
• Si $\displaystyle W \le \frac{R+r\cos \Theta}{R+r}$ entonces tu punto es $\left((R +r \cos \Theta) \cos \Phi, (R + r \cos \Theta) \sin \Phi, r \sin \Theta \right)$, pero si $\displaystyle W \gt \frac{R+r\cos \Theta}{R+r}$ entonces comienza de nuevo eligiendo nuevos $U,V,W$

Nota que en el último punto, es más probable que rechaces una selección cuando $\Theta \approx \pi$ que cuando es cerca de $0$ o $2\pi$. Esto corresponde a tu legítima preocupación de que los puntos "más cerca del agujero" de otra manera podrían estar sobre representados

Answer 2

Esta respuesta inicial fue para un anillo 2-D plano. Para la superficie de un toro 3-D, ver mi otra respuesta

Si la distancia desde el origen es $R$, entonces $R$ podría tener una densidad $f(x)$ proporcional a $2\pi x$ para dar una distribución uniforme en el anillo cuando se combina con el ángulo uniformemente distribuido

Si $R$ tiene que estar entre $r_{\min}$ y $r_{\max}$ entonces esto significa que $f(x)=\dfrac{2x}{r_{\max}^2 - r_{\min} ^2}$ para $r_{\min} \le x \le r_{\max}$

En la práctica, elige $U$ uniformemente en $[0,1]$ y deja que $R =\sqrt{U r_{\max}^2+(1-U)r_{\min} ^2}$ como la inversa de la función de distribución acumulativa