Homomorfismos de anillo que extiendan de manera adecuada las intersecciones de ideales

Question

Sea $\varphi\!:\!S\to R$ un homomorfismo de $K$-álgebras para algún campo $K$. Sea $\{a_{\lambda}\}_{\lambda}$ una familia de ideales de $S$.

¿Existe alguna suposición "natural" sobre $\varphi$ que garantice que $$ \cap_{\lambda} a_{\lambda}^e = (\cap_\lambda a_\lambda)^e, $$ donde $\_^e$ denota la extensión a $R$?

La inclusión $\cap_{\lambda} a_{\lambda}^e \supseteq (\cap_\lambda a_\lambda)^e$ siempre se cumple. ¿Qué condiciones sobre $\varphi$ (lo más generales posible) garantizan que la inclusión recíproca también se cumpla?

Por ejemplo, si $R= S\otimes_K T$ para algún $K$-álgebra $T$ y $\varphi(s)=s\otimes 1. Vamos a comprobarlo.

El anillo $R$ es un módulo libre sobre $S$ mediante $\varphi$. Además, dado un $K$-base $\{t_l\}_l$ de $T$, el conjunto $\{1\otimes t_l\}_l$ es una $S$-base de $R$. Así, dado un ideal $I\subseteq S$ y $r\in R$ con $r=\sum_l s_l(1\otimes t_l)$, entonces $r\in I^e$ si y solo si $s_l\in I$ para todo $l. Por lo tanto, si $r\in \cap_\lambda a_\lambda^e$, entonces $s_l\in a_\lambda$ para todo $l$ y $\lambda$, es decir, $s_l\in\cap_\lambda a_\lambda$ para todo $l$ y luego $r\in (\cap_\lambda a_\lambda)^e$.

Desde el punto de vista geométrico, es claro que el map correspondiente $f\!:\! X\to Y$, donde $X=Spec(R)$ y $Y=Spec(S)$, tiene que ser sobreyectivo. Además, la planitud parece ser una suposición razonable y luego $\varphi$ es fielmente plano. Pero con estas dos suposiciones sobre $\varphi, no puedo encontrar ni una prueba de que $\cap_{\lambda} a_{\lambda}^e \subseteq (\cap_\lambda a_\lambda)^e$ ni un contraejemplo. Por lo tanto, no estoy seguro de si "fielmente plano" es la suposición sobre $\varphi que estoy buscando o no, pero creo que sí. (En el ejemplo $R=S\otimes T$, $\varphi$ es fielmente plano).

Hechos sobre homomorfismos fielmente planos que podrían ser útiles son:

1. $\varphi$ es inyectivo, por lo que $S$ es un subanillo de $R$.
2. Para todo ideal $I\subseteq S$, $I=I^e\cap S$.
3. Para todo ideal primo $p\subseteq R$, el ideal $p\cap S$ es un ideal primo de $S$.

Cualquier sugerencia o comentario sería muy apreciado.

Answer 1

[Nota: Estoy asumiendo que estás considerando álgebras conmutativas. Sin embargo, todo lo siguiente también funciona en el caso no conmutativo si usas ideales derechos (izquierdos), y asumes que $R$ está finitamente presentado y plano como un módulo izquierdo (derecho) sobre $S".]

Dada un $S$-álgebra $R$, la suposición de que $R$ es plano y finitamente presentado como un $S$-módulo garantiza que $\bigcap_\lambda \mathfrak a_\lambda^e=(\bigcap_\lambda \mathfrak a_\lambda)^e$ para cualquier familia de ideales $\{\mathfrak a_\lambda\}$ en $S".

La suposición de que $R$ es plano sobre $S$ garantiza lo mismo para familias finitas de ideales $\{\mathfrak a_\lambda\}.$ [Edit: Sin embargo, puede fallar para familias infinitas. Por ejemplo, considera $S=\mathbb{Z}$, $R=\mathbb{Q}$ y los ideales $\{n\mathbb{Z}\}_{n\in \mathbb{N}}$ (para un contraejemplo fielmente plano, toma $R=\mathbb{Q}\times\mathbb{Z}$ y $\{n\mathbb{Z}\times 0\}_{n\in \mathbb{N}}$.]

Prueba. Considera la sucesión exacta $$0\to \bigcap_\lambda\mathfrak a_\lambda \to S\xrightarrow{f} \prod_\lambda S/\mathfrak a_\lambda$$ en la que el primer mapa es la inclusión y $f$ está definida por $f(s)=(s+\mathfrak a_\lambda)_\lambda$. Como $R$ es plano sobre $S$, al tensorizar con $R$, obtenemos una sucesión exacta $$0\to (\bigcap_\lambda\mathfrak a_\lambda)\otimes R \to S\otimes R \xrightarrow{f\otimes\mathrm{id}_R} (\prod_\lambda S/\mathfrak a_\lambda)\otimes R$$ (todos los tensores se toman sobre $S").

El término medio $S\otimes R$ es isomorfo a $R$ a través de $s\otimes r\mapsto \varphi(s)r$. Además, dado que $\{\mathfrak a_\lambda\}$ es finito o $R$ está finitamente presentado sobre $S$, el término derecho es isomorfo a $\prod_\lambda ((S/\mathfrak a_\lambda)\otimes R)$ a través del mapa "obvio" (ver "Lectures on Modules and Rings" de Lam, Proposición 4.44). Dado que $(S/\mathfrak a_\lambda)\otimes R\cong R/a_\lambda^e$, la sucesión se convierte en: $$0\to (\bigcap_\lambda\mathfrak a_\lambda)\otimes R \xrightarrow{s\otimes r\mapsto \varphi(s)r} R\to \prod_\lambda R/\mathfrak a_\lambda^e.$$ La exactitud en $R$ significa que $\bigcap_\lambda \mathfrak a_\lambda^e=(\bigcap_\lambda \mathfrak a_\lambda)^e$.