Diferencial del morfismo de Torelli en el límite

Question

Consideremos el morfismo de Torelli $T:\mathcal{M}_g \rightarrow \mathcal{A}_g$, desde el espacio de módulos de curvas de género $g$ hasta el espacio de módulos de variedades abelianas principales polarizadas de dimensión $g$, que mapea una curva a su Jacobi. La diferencial de $T$ en un punto $[C]$ es el mapa natural $$H^1(C, T_C) \rightarrow Sym^2H^1(C, \mathcal{O}_C).$$ Sé que $T$ puede extenderse a un mapa $$T:\bar{\mathcal{M}_g} \rightarrow \bar{\mathcal{A}_g}$$ desde la compactificación de Deligne-Mumford de $\mathcal{M}_g$ hasta alguna compactificación de $\mathcal{A}_g.

Me gustaría saber si hay alguna forma de describir la diferencial de $T$ en un punto que represente una curva nodal. Más específicamente, ¿cómo podemos describir el espacio de deformaciones de una variedad semi-abeliana y en particular de una variedad Jacobiana generalizada? Sobre $\mathbb{C}$, al calcular la matriz de períodos, se puede mostrar que la diferencial de $T$ tiene rango máximo en cada punto que represente una curva nodal con normalización no hiperelíptica. Me pregunto si, tal vez, hay una forma más algebraica de verlo.

Answer 1

¿Has leído la tesis de Bob Friedman, de Harvard? En el apéndice recuerdo que consideró curvas singulares o superficies singulares y dedujo el teorema de Torelli genérico a partir de un argumento de especialización. O tal vez consultar el artículo de Friedman-Smith sobre el teorema de Torelli genérico en Inventiones hace unos 20 años utilizando esta técnica.

Answer 2

Como dijo mathwonk, Friedman y Smith tienen lo que buscas, aunque todavía es más de C. Para un resultado más general, expresado algebraicamente y una conexión con la teoría de deformación de Serre-Tate, ver mi artículo con Coleman, también en Inv. Math. (1992).