Dos matrices cuadradas $A$ y $B$ se dicen similares, o conjugadas, si existe una matriz cuadrada invertible $P$ tal que $A = P^{-1}BP$. Esto es equivalente a decir que $A$ y $B$ representan la misma transformación lineal en bases diferentes, con $P$ proporcionando la matriz de cambio de base que las relaciona.
Si se desea resolver una ecuación lineal pero se está trabajando en una base inconveniente, puede ser útil cambiar la base a una más conveniente. A veces se puede encontrar una base conveniente mediante inspección, pero en general uno cambia la base para obtener la forma canónica de Jordan de la matriz deseada. Para resolver ecuaciones lineales, la forma canónica de Jordan es ideal, ya que (1) tiene una estructura muy simple (triangular superior, y solo $1$-s justo encima de la diagonal) y (2) se puede calcular para cualquier matriz cuadrada.
Es importante por razones teóricas saber que siempre se puede encontrar la forma canónica de Jordan de una matriz cuadrada. Simplifica muchas demostraciones abstractas asumir que una matriz en la demostración está en forma canónica de Jordan. Si se tiene un poco de álgebra abstracta, la forma canónica de Jordan también es de interés en el sentido de que clasifica completamente las clases de conjugación de matrices sobre los números complejos (y algunos otros campos también), y es un caso especial de un fenómeno más general relacionado con los homomorfismos de módulos.
Sin embargo, para propósitos más prácticos la forma canónica de Jordan no es ideal. El ejemplo principal de una aplicación del mundo real sería resolver un sistema de ecuaciones lineales (por ejemplo, uno que surge al intentar resolver un sistema de EDOs lineales), y desafortunadamente la forma canónica de Jordan no es adecuada para esta tarea en la práctica. La razón es que la forma canónica de Jordan es muy sensible a perturbaciones en la matriz original; es decir, si una entrada $a_{ij}$ en la matriz $A$ es perturbada a $a_{ij}+\epsilon$, es muy posible que la forma canónica de Jordan de la nueva matriz sea muy diferente de la forma canónica de Jordan original. (Es decir, la forma canónica de Jordan no es numéricamente estable.)
La inestabilidad numérica de la forma canónica de Jordan la convierte en mala en aplicaciones de la vida real, donde los sistemas de ecuaciones lineales surgen de datos del mundo real que siempre tienen un nivel de incertidumbre. Por esta razón, en aplicaciones del mundo real uno debe abandonar la forma canónica de Jordan por algoritmos numéricamente estables. Un ejemplo de dicho algoritmo es la factorización de Schur, que también transforma (usando matrices unitarias) una matriz en una matriz conjugada triangular superior, y así simplifica la solución de sistemas lineales.
