Hay una retracción de un no-orientable colector a su límite?

Question

Es fácil mostrar mediante el teorema de Stokes que una compacta orientable manifold con frontera no puede retraer a su límite, por la elección de una forma de volumen. Pero para el no-orientable caso no sé si esto es cierto. Hay un no-orientable colector con una retracción de su límite?

Gracias de antemano.

Answer 1

He aquí una prueba de que ha trabajado para ambos orientable y no-orientable colectores. La prueba viene (mi memoria) Milnor del libro "la Topología de la Diferenciable punto de vista". La prueba sólo muestra que no hay liso de la retracción. (Con más trabajo, uno puede mostrar que hay una retracción continua iff no es suave, por lo que este se puede convertir en una prueba de la declaración general.)

Supongamos por contradicción que $r:M\rightarrow \partial M$ es una retracción de un compacto colector $M$ a su límite. Por Adrs del teorema, no es un valor regular $p\in \partial M$.

A continuación, $r^{-1}(p)$ $1$- d submanifold en $M$. Es cerrado, siendo el inverso de la imagen del conjunto cerrado $\{p\}$, por lo que es compacto. Un compacto $1$-d colector es homeomórficos a un discontinuo de la unión de un número finito de círculos y cerrado, acotado a intervalos. En particular, el límite de $r^{-1}(p)$ incluso ha cardinalidad.

Ahora, el punto clave es que el límite de $r^{-1}(p)$ debe estar en $\partial M$. Pero $r^{-1}(p)\cap \partial M = \{p\}$ (desde $r$ es una retracción), por lo que no es de incluso la cardinalidad.

Answer 2

No, este no es el caso. La forma más sencilla de ver esto es pensar en la homología de los múltiples y sus límites. El uso de $\mathbb{Z/2Z}$ coeficientes, podemos evitar las preguntas de orientability.

Para la retracción de existir, sería necesario tener la composición:$$H_{n-1} (\partial M; \mathbb{Z/2Z}) \rightarrow H_{n-1} ( M; \mathbb{Z/2Z}) \rightarrow H_{n-1} (\partial M; \mathbb{Z/2Z})$$

ser la identidad. Lo voy a dejar como un ejercicio para demostrar que esto no puede ocurrir. Considere lo que sucede al material en el límite, cuando se pega en el manifold en general.