Secuencias débilmente nulas en la esfera unitaria de $l_2$

Question

¿Se puede escribir la esfera unitaria de $l_2$, $S:=\{x\in l_2 : ||x||=1\}$, como una unión disjunta de secuencias que convergen débilmente a $0$?

Answer 1

Sí. Sea $T$ el operador de desplazamiento hacia adelante $Tx = (0, x_1, x_2,\dots)$. Para cada vector $x$, la secuencia $T^nx$ converge débilmente a $0$. Además, $T$ es una isometría, por lo que $T(S)\subset S.

Sea $S_1 = \{x\in S\colon x_1\ne 0\}$. Entonces $$S = \bigcup_{x\in S_1} \{T^n x\colon n=0,1,2,\dots\}$$ es la unión disjunta deseada. (Disjunta porque cualquier elemento de la secuencia $\{T^n x\colon n=0,1,2,\dots\}$ determina el punto inicial $x$; simplemente elimine los ceros iniciales.)