Dado $\Omega \subset \mathbb R^N $ sea abierto y sea $g$: $\Omega\to \mathbb R^+$ una función $l.s.c$ tal que $g\geq 1$, pero no necesariamente acotada superiormente. También supongamos que existe una secuencia de funciones Lipschitz continuas $(g_k)$ tal que $1\leq g_k(x)\leq g(x)$ y $g_k\nearrow g$ para todo $x\in\Omega.
También supongamos que existe un funcional lineal continuo $L$: $C_c(\Omega)\to \mathbb R$ y tenemos $$ a:=\sup\{ L(f),\,\,f\in C_c(\Omega),\,\, |f(x)|\leq g(x),\,\,\operatorname{spt}(f)\subset U\}<\infty $$ para cada $U\subset \Omega$ compacto.
También definimos $$ a_k:=\sup\{ L(f),\,\,f\in C_c(\Omega),\,\, |f(x)|\leq g_k(x),\,\,\operatorname{spt}(f)\subset U\} $$ (Sí, esta es la suposición de Riesz. Sección 1.8 en Evans & Gariepy)
¿Mi pregunta: tenemos $a_k\nearrow a$ cuando $k\to \infty$?
Una observación rápida muestra que $a_k\leq a_{k+1}\leq \ldots\leq a$ para todo $k$ y por lo tanto $a_k\to a'$ para algún $a'\leq a$. Pero no estoy seguro si habrá una brecha entre $a'$ y $a.
Lo que intenté es suponer $a'
¡Cualquier ayuda es bienvenida!
