Supongamos que $(f_n)_n$ es una secuencia de funciones medibles en un conjunto $E$ y que $f_n \to f$ c.s. en $E$. ¿Esto implica que $f$ es medible?
Sé que el límite puntual de una función medible es medible. Pero aquí solo tenemos convergencia c.s. Así que me confundí.
Eso depende del contexto exacto.
En general, $f$ no será medible. Para ver esto, simplemente tome $(X, \{\emptyset, X\}, \mu)$ como su espacio de medida, con $\mu(\emptyset) = 0 = \mu(X)$.
Entonces $f_n \to f$ casi en todas partes se cumple para cada secuencia $(f_n)_n$ y cada función $f$, pero solo las funciones constantes son medibles.
Ahora suponga que su espacio de medida $(X, \Sigma, \mu)$ es completo. Esto significa que si $A \in \Sigma$ con $B \subset A$ y $\mu(A) = 0$, entonces también $B \in \Sigma$.
Entonces $f$ es medible. Para ver esto, primero note que si $f = g$ casi en todas partes (es decir, en $N^c$ con $\mu(N) = 0$) y $g$ es medible, entonces también lo es $f$, porque para cada intervalo $I \subset \Bbb{R}$, tenemos
\begin{eqnarray*} f^{-1}(I) &=& [f^{-1}(I) \cap N^c] \cup [f^{-1}(I) \cap N] \\ &=& [g^{-1}(I) \cap N^c] \cup [f^{-1}(I) \cap N]. \end{eqnarray*}
Pero $N, N^c$ son medibles y $g$ es medible. Por lo tanto, $g^{-1}(I) \cap N^c$ es medible.
Finalmente, dado que su espacio de medida es completo, $f^{-1}(I) \cap N$ es medible (porque es un subconjunto del conjunto nulo $N$).
Por lo tanto, $f^{-1}(I)$ es medible.
Ahora sea $g := \liminf_n f_n$. Luego $g$ es medible y $f = g$ casi en todas partes debido a que $f_n \to f$ casi en todas partes. Según lo anterior, esto implica que $f$ es medible.
Finalmente, tenga en cuenta que la medida de Lebesgue equipada con la $\sigma$-álgebra de conjuntos Lebesgue medibles es completa, pero equipada con la $\sigma$-álgebra de conjuntos Borel medibles, no es completa.
Estoy de acuerdo con la respuesta de @PhoemueX, pero quizás no con la pregunta! Considera una alternativa .......
Supongamos que $\{f_n\}$ es una secuencia convergente en casi todo punto y define $f = \lim_{n \rightarrow \infty} f_n$ donde existe el límite. Entonces $f$ es una función definida en casi todo punto y $f$ es mensurable.
Claramente $f$ está definida en casi todo punto, para probar mensurabilidad.....
...sea A el conjunto nulo en el que $\{f_n\}$ no converge.
Entonces $f_n |_{X \setminus A}$ es una función mensurable en $X \setminus A$ y converge a un límite $f$ en $X \setminus A$ que es mensurable por el teorema de convergencia normal. Entonces $f$ es una función mensurable definida en casi todo punto en X.
En términos del contraejemplo en la respuesta anterior, solo las funciones constantes son mensurables y, por lo tanto, una secuencia de constantes converge en todas partes o en ningún lugar. En el último caso, $X$ es el "conjunto nulo" donde la secuencia no converge y $f$ está definida "casi en todas partes" excepto en $X" - es decir, no está definida en ninguna parte, pero esto aún encaja en la definición de definido en casi todo punto en este caso.
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