¿Forma polar de una superelipse?

Question

¿Cuál es la forma polar para una superelipse con semidiámetros $a$ y $b$, centrada en un punto $(r_0, _0)$, con el semidiámetro $a$ en un ángulo $\varphi$ relativo al eje polar?

Answer 1

Para una elipse regular orientada con el eje mayor a lo largo de $x$, Wikipedia da $r=\frac{ab}{\sqrt{(b\cos \theta)^2+(a \sin \theta)^2}}$. Para rotar esto por $\theta_0$, simplemente reste de $\theta$ dando $r=\frac{ab}{\sqrt{(b\cos (\theta-\theta_0))^2+(a \sin (\theta-\theta_0))^2}}$. Para hacerlo una superelipse, simplemente cambie el exponente a $n$ dando $r=\frac{ab}{\sqrt[n]{|b\cos (\theta-\theta_0)|^n+|a \sin (\theta-\theta_0)|^n}}$. Las traducciones son difíciles en coordenadas polares, así que me rendiría y cambiaría a coordenadas cartesianas.

Answer 2

Para los que aún estén interesados, dos formas de una superelipse en forma cartesiana y polar:

Cartesiana no contínua:

$y=W\cdot \left (1-\dfrac{1}{L^{n}}\cdot \left |x-xextra\right |^{n}\right )^{\dfrac{1}{n}}$

Cartesiana contínua:

$y=W\cdot \left |1-\dfrac{1}{L^{n}}\cdot \left |x-xextra\right |^{n}\right |^{\dfrac{1}{n}}$

Polar

$r = L\cdot W\cdot \dfrac{1}{\left (\left |L\cdot sin(\theta)\right |^{n}+\left |W\cdot cos(\theta)\right |^{n}\right )^{\dfrac{1}{n}}}$

De los cuales:

W = ancho a lo largo del eje y

L = longitud a lo largo del eje x

xextra = desplaza el centro de la elipse a lo largo del eje x