Polinomios irreducibles sobre $\mathbb{Q}$ pero reducible sobre $\mathbb{F}_p$ para cada primo $p$

Question

Sea $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ . Si reducimos los coeficientes de $f(x)$ modulo $p$ donde $p$ es primo, obtenemos un polinomio $f^*(x) \in \mathbb{F}_p[x]$ . Entonces, si $f^*(x)$ es irreducible y tiene el mismo grado que $f(x)$ el polinomio $f(x)$ es irreducible.

Esta es una forma de demostrar que un polinomio en $\mathbb{Z}[x]$ es irreducible, pero no siempre funciona. Hay polinomios que son irreducibles en $\mathbb{Z}[x]$ pero tenga en cuenta $\mathbb{F}_p[x]$ para cada primo $p$ . Los únicos ejemplos que conozco son $x^4 + 1$ y $x^4 - 10x^2 + 1$ .

Me gustaría ver más ejemplos, en particular una familia infinita de polinomios como esta sería interesante. ¿Cómo se hace para encontrarlos? ¿Alguien ha intentado clasificar todos los polinomios en $\mathbb{Z}[x]$ con esta propiedad?

Answer 1

Aquí hay dos resultados cruciales.

Teorema de Dedekind: Sea $f$ sea un polinomio irreducible mónico sobre $\mathbb{Z}$ de grado $n$ y que $p$ sea un primo tal que $f$ tiene raíces distintas $\bmod p$ (esto es cierto precisamente para los primos que no dividen el discriminante ). Supongamos que la factorización prima de $f \bmod p$ es $$f \equiv \prod_{i=1}^k f_i \bmod p.$$

Entonces el grupo de Galois $G$ de $f$ contiene un elemento de tipo ciclo $(\deg f_1, \deg f_2, ...)$ . En particular, si $f$ es irreducible $\bmod p$ entonces $G$ contiene un $n$ -ciclo.

Teorema de la densidad de Frobenius : La densidad de los primos con respecto a los cuales la factorización de $f \bmod p$ tiene la forma anterior es igual a la densidad de elementos de $G$ con el tipo de ciclo correspondiente. En particular, para cada tipo de ciclo existe al menos un primo de este tipo $p$ .

De ello se deduce que

$f$ es reducible $\bmod p$ para todos $p$ sólo si $G$ no contiene un $n$ -ciclo.

El valor más pequeño de $n$ para el que esto es posible es $n = 4$ donde el grupo de Galois $V_4 \cong C_2 \times C_2$ no tiene $4$ -ciclo. Así, para escribir una familia de ejemplos basta con escribir una familia de cuárticos irreducibles con grupo de Galois $V_4$ . Como se expone, por ejemplo, en esta pregunta de math.SE si $$f(x) = (x^2 - a)^2 - b$$

es irreducible y $a^2 - b$ es un cuadrado, entonces $f$ tiene grupo de Galois $V_4$ . En particular, tomando $b = a^2 - 1$ el problema se reduce a encontrar infinitas $a$ tal que $$f(x) = x^4 - 2ax^2 + 1$$

es irreducible. Obtenemos sus ejemplos estableciendo $a = 0, 5$ .

Por el teorema de la raíz racional, las únicas raíces racionales posibles de $f$ son $\pm 1$ por lo que tomando $a \neq 1$ ya garantizamos que $f$ no tiene raíces racionales. Si $f$ se divide en dos factores cuadráticos, entonces ambos tienen término constante $\pm 1$ por lo que podemos escribir $$x^4 - 2ax + 1 = (x^2 - bx \pm 1)(x^2 + bx \pm 1)$$

para algunos $b$ . Esto da $$2a = b^2 \mp 2.$$

Así $f$ es irreducible si y sólo si $2a$ no puede escribirse de la forma anterior (y tampoco $a \neq 1$ ).

Clasificación de polinomios $f$ con esta propiedad parece bastante difícil en general. Cuando $n = 4$ resulta que $V_4$ es de hecho el único subgrupo transitivo de $S_4$ que no contenga un $4$ -pero para valores más altos de $n$ debería haber muchos más, y entonces uno tiene que decir si un polinomio tiene uno de estos como grupo de Galois...

(Excepto si $n = q$ es primo; en este caso $q | |G|$ por lo que debe tener un $q$ -ciclo).

Answer 2

Los polinomios $p_n(x)=x^{2^n}+1$ forman una familia infinita de ejemplos de tales polinomios. Son irreducibles sobre los racionales, porque $p_n(x)$ es también el polinomio ciclotómico de orden $2^{n+1}$ .

Pero el polinomio $p_n(x)$ factores en $\mathbb{F}_p[x]$ para cualquier primo $p$ . Si $p=2$ Esto es obvio porque $$ p_n(x)\equiv (x+1)^{2^n}\pmod2. $$ Si $p$ es un primo impar, entonces el razonamiento es un poco más sutil. Se deduce del hecho de que el orden $d$ de $p$ en el grupo $G=\mathbb{Z}/2^{n+1}\mathbb{Z}^*$ es inferior a $2^n$ (en virtud de la no ciclicidad de $G$ ), y el hecho de que el campo $\mathbb{F}_{p^d}$ contiene entonces una raíz primitiva de la unidad de orden $2^{n+1}$ como $2^{n+1}\mid (p^d-1)$ . Esto implica que las raíces primitivas de la unidad de orden $2^{n+1}$ tienen polinomios mínimos de grado $d$ y estos deben ser factores de $p_n(x)$ en $\Bbb{Z}_p[x]$ .

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Cabe señalar que, por la misma razón ( $G$ no cíclico) los polinomios $p_n(x)$ pasar la prueba descrita en la respuesta de Qiaochu. Todos los elementos del grupo de Galois tienen órdenes que son potencias de dos $<2^n$ por lo que la longitud máxima de un ciclo es $2^{n-1}$ .

Answer 3

Para cualquier primo distinto $p_1,p_2$ el polinomio $$x^4-2(p_1+p_2)x^2+(p_1-p_2)^2,(1)$$

es irreducible en $\Bbb Q$ pero este polinomio es reducible modulo $p$ para cualquier primo $p$ . Veamos por qué:

Es un conocido hecho que $[\Bbb Q(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2}):\Bbb Q]=4$ y $\Bbb Q(\sqrt{p_1}+\sqrt{p_2})=\Bbb Q(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2})$ ver este por lo tanto $\sqrt{p_1}+\sqrt{p_2}$ es un raíz%5E4-2(a%2Bb)(sqrt(a)%2Bsqrt(b))%5E2%2B(a-b)%5E2) de $(1)$ este polinomio es irreducible sobre $\Bbb Q$ .

Como el Símbolo de Legendre es multiplicativa obtenemos que $p_1$ o $p_2$ tienen una raíz cuadrada módulo $p$ o $p_1p_2$ lo hace; observe que esto sucede trivialmente si $p=p_1$ o $p=p_2$ por lo tanto $\Bbb F_p(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2})=\Bbb F_p(\sqrt{p_1},\sqrt{p_1p_2})=\Bbb F_p(\sqrt{p_2},\sqrt{p_1p_2})$ obtenemos $$[\Bbb F_p(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2}):\Bbb F_p]\leq 2,$$

y esto implica $(1)$ no es irreducible ya que $\sqrt{p_1}+\sqrt{p_2}$ es una raíz.

El polinomio $x^4-10x^2+1$ es un caso particular con $p_1=2$ y $p_2=3$ .