Una pregunta sobre grupos fundamentales

Question

El siguiente es un problema de examen de calificación. Estoy teniendo grandes dificultades y no tengo idea de por dónde empezar. Creo que es un problema legítimamente difícil. Cualquier ayuda es muy apreciada. Muchas gracias.

Sea $n$ un entero positivo. Sea $X$ el espacio de todos los $n$-uplas $(x_1, ..., x_n)$ de puntos de $\mathbb{R}^4$ tal que para $i \neq j$, $x_i \neq x_j$, con la topología inducida por la inclusión en $\mathbb{R}^{4n}$. Sea $\sim$ la relación de equivalencia en $X$ dada por $(x_1, ..., x_n) \sim (x_{\sigma(1)}, ..., x_{\sigma(n)})$ para cada permutación de $1, ..., n$. Calcular $\pi_1(X)$ y $\pi_{1}(X/\sim)$.

Answer 1

No estoy seguro de qué herramientas se te permite usar, pero aquí va. Voy a usar la notación $X_n$ en lugar de $X.

Afirmación 1: $\pi_1(X_n)$ es trivial.

Prueba: Por inducción en $n$. Cuando $n = 1$, $X_1 = \mathbb{R}^4$ y por lo tanto es simplemente conexo. Ahora, asumamos que $X_{n-1}$ es simplemente conexo.

Sea $\pi:X_n\rightarrow X_{n-1}$ la proyección en las primeras $n-1$ coordenadas. Entonces $\pi$ le otorga a $X_n$ la estructura de un haz de fibras con fibra $\mathbb{R}^4\setminus\{x_1,...,x_n\}$. A partir de esto, obtenemos una secuencia exacta larga en grupos de homotopía $$\ldots\rightarrow \pi_1\left(\mathbb{R}^4\setminus\{x_1,...,x_n\}\right)\rightarrow \pi_1(X_n)\rightarrow \pi_1(X_{n-1})\rightarrow\pi_0\left(\mathbb{R}^4\setminus\{x_1,...,x_n\}\right)\ldots $$

Observa que $\mathbb{R}^4\setminus\{x_1,...,x_n\}$ es tanto conexo como simplemente conexo y además, por suposición $\pi_1(X_{n-1}) = 0$. Luego, la exactitud implica que $\pi_1(X_n) = 0$ y por lo tanto $X_n$ también es simplemente conexo.

Afirmación 2: El espacio $X_n/\sim$ no es otra cosa que el espacio de órbitas $X_n/S_n$ donde $S_n$, el grupo simétrico, actúa libremente en $X_n$ permutando las coordenadas. En particular, $X_n\rightarrow X_n/S_n$ es un recubrimiento y por lo tanto $\pi_1(X/\sim) = \ldots$