$\int_{2n-1}^{2n+1}\frac{dx}{\ln x}>\frac{1}{\ln n} $ límite inferior

Question

Así que estaba leyendo la solución de un ejercicio y en un paso se afirmaba que: $$ \int_{2n-1}^{2n+1}\frac{dx}{\ln x}>\frac{1}{\ln n} $$

Para n suficientemente grande. No entiendo por qué esto es cierto o cómo se demuestra. Intenté resolver la integral, sin éxito, y también encontré otros límites inferiores y superiores pero no pude obtener los resultados deseados. Cualquier ayuda o pista sería apreciada.

Answer 1

Dado que $\frac{1}{\ln x}$ es decreciente, tenemos

\begin{align} \int_{2n-1}^{2n+1} \frac{dx}{\ln x} &\ge \int_{2n-1}^{2n+1} \frac{dx}{\ln (2n + 1) } \\ &= \frac{2}{\ln(2n+1)}. \\ \end{align}

Ahora, $\frac{2}{\ln(2n+1)} > \frac{1}{\ln(n)}$ si y solo si tenemos $\ln(n^2) > \ln(2n+1)$, lo cual es equivalente a $n^2 > 2n+1$. Esta desigualdad se mantiene siempre que $n \ge 3$ (suponiendo que $n$ es un entero positivo).

Answer 2

La integral está trivialmente acotada por debajo por el mínimo de la función multiplicado por la longitud del intervalo, es decir:

$\int_{2n-1}^{2n+1}\frac{dx}{\ln x}\geq\frac{2}{\ln(2n+1)}$

Y se deja para mostrar que para valores suficientemente grandes de $n$ tenemos $\frac{2}{\ln(2n+1)}>\frac{1}{\ln n}$. Esta desigualdad es equivalente a $2\ln(n)>\ln(2n+1)$. El lado izquierdo es $\ln(n^2)$, y por lo tanto la desigualdad es claramente verdadera para valores suficientemente grandes de $n$.

Answer 3

Realmente puedes desarrollar un límite ligeramente más ajustado.

Nota primero que $$\int_{2n-1}^{2n+1}\frac{1}{\log(x)}\mathrm dx=\operatorname{li}(2n+1)-\operatorname{li}(2n-1)$$ Dónde $$\operatorname{li}(x):=\int_0^x \frac{1}{\log t}\mathrm dt$$ Es la función integral logarítmica. Puede ser definida de manera equivalente como $$\operatorname{li}(x)=\operatorname{Ei}(\log x)$$ Dónde $$\operatorname{Ei}(x)=-\int_{-x}^\infty \frac{\mathrm e^{-t}}{t}\mathrm dt$$ Usando el método de Laplace puedes obtener la expansión asintótica para $\operatorname{Ei}$: $$\operatorname{Ei}(x)=\frac{\mathrm e^x}{x}\left(1+\frac{1!}{x^1}+\frac{2!}{x^2}+\cdots+ \frac{k!}{x^k}+\mathrm O(x^{-k-1})\right) \\ \text{as}~~~x\to\infty\tag{1}$$ Y así $$\int_{2n-1}^{2n+1}\frac{1}{\log(x)}\mathrm dx=\operatorname{li}(2n+1)-\operatorname{li}(2n-1) \\ =\operatorname{Ei}(\log(2n+1))-\operatorname{Ei}(\log(2n-1)) \\ \approx \frac{\exp(\log(2n+1))}{\log(2n+1)}-\frac{\exp(\log(2n-1))}{\log(2n-1)} \\ =\frac{2n+1}{\log(2n+1)}-\frac{2n-1}{\log(2n-1)}$$

Permitiendo $$f(x)=\frac{2x+1}{\log(2x+1)}-\frac{2x-1}{\log(2x-1)}$$ Podemos escribir $$\int_{2n-1}^{2n+1}\frac{1}{\log(t)}\mathrm dt>f(n)$$ Lo cual es un límite inferior ligeramente más ajustado que $1/\log(n)$. Por supuesto, puedes hacerlo aún mejor incluyendo más términos de $(1)$.