Producto Measure $\mathcal{V}$ de medida normal $\mathcal{U}$ tal que $\mathcal{U}\nleq_{RK} \mathcal{V}$

Question

Sea $\kappa$ medible y sea $\mathcal{U}$ alguna medida en ella, definimos una medida en $\kappa\times\kappa$

$$ A\in \mathcal{V} \iff \{\alpha \ \big |\ \{\beta\ \big|\ (\alpha,\beta)\in A\}\in \mathcal{U}\} \in \mathcal{U}$$

muestra que $\mathcal{V}$ es un ultrafiltro completo de $\kappa$ y prueba que $ \mathcal{U} \leq_{RK} \mathcal{V}$ y $\mathcal{V} \nleq_{RK} \mathcal{U}$. (donde $\leq_{RK}$ está definido en una pregunta previa)

Estoy atascado en la última parte al tratar de probar $\mathcal{V} \nleq_{RK} \mathcal{U}$, se nos dio una pista de mostrar primero que

$$ \kappa =[\pi_1]_\mathcal{V} <[\pi_2]_\mathcal{V}

lo cual logré hacer. Luego se suponía que debíamos mostrar que $ j_\mathcal{U}(\kappa) \leq [\pi_2]_\mathcal{V}$, pero quedé atascado en cómo describir $j_\mathcal{U}(\kappa)$ dentro de la ultrapotencia por $\mathcal{V}$?

Además, dado que $ j_\mathcal{U}(\kappa) \leq [\pi_2]_\mathcal{V}$ ¿cómo llego a una contradicción? En la pregunta anterior demostramos que estar en orden es equivalente a tener una incrustación elemental $k\circ j_\mathcal{U} = j_\mathcal{V}$, entiendo que de alguna manera mezcla el orden pero no puedo probarlo.

Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Por un lado, asumir que $[f]_\mathcal{U}. Se puede ver que $[f\circ \pi_1]_\mathcal{V}< [\pi_2]_\mathcal{V}$ (ya que $\{(\alpha,\beta)\in \kappa^2 \mid f(\alpha)<\beta\}\in\mathcal{V}$), entonces $[f]_\mathcal{U}\le k([f]_\mathcal{U})<[\pi_2]_\mathcal{V}$. Por lo tanto, $j_\mathcal{U}(\kappa)\le [\pi_2]_\mathcal{V}$. (Note que la idea de la prueba es similar a la de $\kappa\le [\mathrm{Id}]_\mathcal{U}$.)

Por otro lado, se cumple en general que si $\mathcal{U}\le_{RK}\mathcal{V}$ y $\mathcal{V}\le_{RK}\mathcal{U}$ entonces generan la misma ultrapotencia: si $\mathcal{U}\le_{RK}\mathcal{V}$ y $\mathcal{V}\le_{RK} \mathcal{U}$, entonces tenemos los mapas $k:\operatorname{Ult}(V,\mathcal{U})\to \operatorname{Ult}(V,\mathcal{V})$ y $k':\operatorname{Ult}(V,\mathcal{V})\to \operatorname{Ult}(V,\mathcal{U})$, los cuales están dados por testigos $s$ y $t$ de $\mathcal{U}\le_{RK} \mathcal{V}$ y $\mathcal{V}\le_{RK} \mathcal{U}$ respectivamente. (Es decir, por ejemplo, $k([f]_\mathcal{U})=[f\circ s]_\mathcal{V}$.) También satisfacen

• $k\circ j_\mathcal{U}=j_\mathcal{V}$, y
• $k'\circ j_\mathcal{V}=j_\mathcal{U}$.

Podemos ver que $k\circ k'\circ j_\mathcal{V}= j_\mathcal{V}$ y $k'\circ k\circ j_\mathcal{U}= j_\mathcal{U}$.

Ahora observar que cada elemento de $\operatorname{Ult}(V,\mathcal{U})$ es de la forma $j_\mathcal{U}(f)([\mathrm{Id}]_\mathcal{U})$. Además, $$k'\circ k(j_\mathcal{U}(f)([\mathrm{Id}]_\mathcal{U})) = j_\mathcal{U}(f)([s\circ t]_\mathcal{U}).$$

Se puede ver desde la prueba de Hamkins que $[\mathrm{Id}]_\mathcal{U}=[s\circ t]_\mathcal{U}$, entonces $k'\circ k$ es la identidad. De manera similar, $k\circ k'$ también es la identidad, por lo tanto $\operatorname{Ult}(V,\mathcal{U})= \operatorname{Ult}(V,\mathcal{V})$ y $j_\mathcal{U}=j_\mathcal{V}$. (También se puede consultar otra respuesta de Hamkins, que resume algunas propiedades de los RK-órdenes.)