¿Existe un esquema de axiomas que agote todos los tipos de cardinales de Mahlo?
Los cardinales de Mahlo pueden considerarse como la primera etapa en la siguiente construcción: sea $C_{0,0}$ la clase de todos los cardinales inaccesibles. Luego, se define por inducción transfinita $\beta \in C_{0,\alpha+1}$ si cualquier función normal $\beta \to \beta$ tiene un punto fijo que esté en $C_{0,\alpha}$, y $C_{0,\lambda}=\cup_{\mu < \lambda} C_{0,\mu}$ para $\lambda$ límite.
Eso lleva al axioma $A_0$: $C_{0,\alpha}$ no está vacío para cualquier ordinal $\alpha$.
Este axioma no agota todos los posibles cardinales de Mahlo, sin embargo, porque podemos diagonalizar y definir $C_{1,0}$ como la clase de todos los cardinales $\beta$ tal que $\beta \in C_{0,\gamma}$ para todo $\gamma < \beta$. Luego inductivamente otra vez: $\beta \in C_{1,\alpha+1}$ si cualquier función normal $\beta \to \beta$ tiene un punto fijo que esté en $C_{1,\alpha}$, y $C_{1,\lambda}=\cup_{\mu < \lambda} C_{1,\mu}$ para $\lambda$ límite.
Eso lleva al axioma $A_1$: $C_{1,\alpha}$ no está vacío para cualquier ordinal $\alpha$.
Pero esto aún no agota todos los posibles cardinales de Mahlo, porque todavía se puede diagonalizar y definir clases $C_{2,\alpha}$, $C_{3,\alpha}$ etc. y de hecho se puede definir $C_{\beta,\alpha}$ para cualquier ordinal $\beta$ y $\alpha$, etc.
Se siente que es imposible formular un axioma que agote toda esta jerarquía. ¿Se formaliza esa impresión en algún teorema?
ACTUALIZACIÓN (09/05/2011): formalmente lo que quiero decir es esto: sea $\phi$ un axioma o esquema de axiomas de teoría de conjuntos (de modo que $\phi$ es una secuencia significativa de cuantificadores $\forall, \exists$, de conectivos lógicos $\Rightarrow, \vee, \wedge, \rceil$, de cualquier número de variables $x_1, \ldots x_n$, cualquier número de variables de fórmula $\phi_1, \phi_2, \ldots ,\phi_m$ (cuando tenemos un esquema de axioma) y el símbolo $\in$). Entonces mi suposición es que $\phi$ no es suficiente como axioma para agotar todos los tipos de cardinales de Mahlo; que siempre habrá alguna "clase Mahlo" $C$ de cardinales tal que no se puede deducir la no vacuidad de $C$ a partir de $\phi$. De hecho, si $\kappa$ es el cardinal más pequeño en $C$ entonces $(V_{\kappa},\in)$ es un modelo de $ZFC+\phi+$ " $C$ está vacío". Por supuesto, estamos asumiendo que la teoría de conjuntos es consistente y excluyendo el caso no interesante donde $\phi$ no es consistente con $ZFC. Y mi pregunta es: ¿es correcta mi suposición? ¿Dónde aparece en la literatura?
