¿Existe un esquema de axiomas que agote todos los tipos de cardinales de Mahlo?

Question

¿Existe un esquema de axiomas que agote todos los tipos de cardinales de Mahlo?

Los cardinales de Mahlo pueden considerarse como la primera etapa en la siguiente construcción: sea $C_{0,0}$ la clase de todos los cardinales inaccesibles. Luego, se define por inducción transfinita $\beta \in C_{0,\alpha+1}$ si cualquier función normal $\beta \to \beta$ tiene un punto fijo que esté en $C_{0,\alpha}$, y $C_{0,\lambda}=\cup_{\mu < \lambda} C_{0,\mu}$ para $\lambda$ límite.

Eso lleva al axioma $A_0$: $C_{0,\alpha}$ no está vacío para cualquier ordinal $\alpha$.

Este axioma no agota todos los posibles cardinales de Mahlo, sin embargo, porque podemos diagonalizar y definir $C_{1,0}$ como la clase de todos los cardinales $\beta$ tal que $\beta \in C_{0,\gamma}$ para todo $\gamma < \beta$. Luego inductivamente otra vez: $\beta \in C_{1,\alpha+1}$ si cualquier función normal $\beta \to \beta$ tiene un punto fijo que esté en $C_{1,\alpha}$, y $C_{1,\lambda}=\cup_{\mu < \lambda} C_{1,\mu}$ para $\lambda$ límite.

Eso lleva al axioma $A_1$: $C_{1,\alpha}$ no está vacío para cualquier ordinal $\alpha$.

Pero esto aún no agota todos los posibles cardinales de Mahlo, porque todavía se puede diagonalizar y definir clases $C_{2,\alpha}$, $C_{3,\alpha}$ etc. y de hecho se puede definir $C_{\beta,\alpha}$ para cualquier ordinal $\beta$ y $\alpha$, etc.

Se siente que es imposible formular un axioma que agote toda esta jerarquía. ¿Se formaliza esa impresión en algún teorema?

ACTUALIZACIÓN (09/05/2011): formalmente lo que quiero decir es esto: sea $\phi$ un axioma o esquema de axiomas de teoría de conjuntos (de modo que $\phi$ es una secuencia significativa de cuantificadores $\forall, \exists$, de conectivos lógicos $\Rightarrow, \vee, \wedge, \rceil$, de cualquier número de variables $x_1, \ldots x_n$, cualquier número de variables de fórmula $\phi_1, \phi_2, \ldots ,\phi_m$ (cuando tenemos un esquema de axioma) y el símbolo $\in$). Entonces mi suposición es que $\phi$ no es suficiente como axioma para agotar todos los tipos de cardinales de Mahlo; que siempre habrá alguna "clase Mahlo" $C$ de cardinales tal que no se puede deducir la no vacuidad de $C$ a partir de $\phi$. De hecho, si $\kappa$ es el cardinal más pequeño en $C$ entonces $(V_{\kappa},\in)$ es un modelo de $ZFC+\phi+$ " $C$ está vacío". Por supuesto, estamos asumiendo que la teoría de conjuntos es consistente y excluyendo el caso no interesante donde $\phi$ no es consistente con $ZFC. Y mi pregunta es: ¿es correcta mi suposición? ¿Dónde aparece en la literatura?

Answer 1

Se puede definir, en el lenguaje de ZFC, la propiedad que has definido como $\kappa\in C_{\alpha,\beta}$. El punto principal es que, aunque $\alpha$ y $\beta$ parecen abarcar ordenados arbitrarios (lo que puede dificultar la formalización de una recursión anidada), aquí puedes restringir la atención a $\alpha,\beta\leq\kappa$, porque $\kappa$ no puede ser más Mahlo que eso de todos modos. Entonces, para cada $\kappa$, estás haciendo una recursión anidada perfectamente ordinaria sobre pares de ordenados por debajo de $\kappa.

Como consecuencia, puedes formular, en el lenguaje de ZFC, un axioma que diga que, para cada $\alpha$ y $\beta$, hay al menos un $\kappa$ (o incluso una clase propia de $\kappa$ si te sientes generoso) en $C_{\alpha,\beta}.

Para axiomas de estilo Mahlo aún más fuertes, podrías investigar en la noción de cardinales "grandemente Mahlo".