Una copia de un espacio métrico

Question

Pregunta:

Suponga que un espacio métrico $(X,d)$ contiene exactamente cuatro puntos, $X = \{ x_1 ,x_2,x_3, x_4\}$. ¿Es cierto que se puede encontrar cuatro puntos $p_1,p_2,p_3,p_4 $ en algún espacio euclidiano $ \Bbb{R^n} $ tal que para cualquier $i,j \in \{1,2,3,4\}$:

$$dist(p_i,p_j) = d(x_i,x_j)$$

Intento:

Un problema anterior pedía tres puntos en $X$ y $p_i$ en $\Bbb{R^2}$. Eso fue sencillo, pero al intentar extenderlo a cuatro puntos, no hay una solución obvia. Sospecho que hay un método para encontrar uno si paso a $\Bbb{R^3}$ pero no estoy seguro de eso. ¿Alguna pista?

Answer 1

No, no todo espacio métrico se puede incrustar isométricamente en $\mathbb{R}^n$.

Tomemos el espacio de cuatro puntos $X = \{x_1, x_2, x_3, c\}$, con función de distancia $d(x_i, x_j) = 2$, $d(x_i, c) = 1$. Este es un espacio métrico, como se podría comprobar axiomáticamente, o viéndolo como un subespacio del grafo donde hay una arista desde cada $x_i$ a $c$.

Supongamos que $X$ se incrusta isométricamente en $\mathbb{R}^n$. Tomemos el plano en el que viven $\{x_1, x_2, x_3\}$: forman un triángulo equilátero con lado de longitud 2 en este plano. Dado que $c$ debe estar a igual distancia de cada uno, debe estar en algún lugar de la línea que pasa por el centro del triángulo, perpendicular al plano. En particular, no está en ninguna arista del triángulo. Por lo tanto, tenemos un triángulo no degenerado $\{x_i, x_j, c\}$ con longitudes de lados $(1, 1, 2)$, lo cual es una contradicción.

Answer 2

No. Deje que x1, x2, x3 estén a 1 de distancia y x4 a 1/2 de los otros. Compruebe la desigualdad del triángulo que fallaría si se usara 1/4. Quizás si R^3 estuviera curvado, sería posible un encaje isométrico.