La condición clave para cualquier distribución de probabilidad es la siguiente, que prueba que la probabilidad total de cualquier evento es $1$. $$\int_{\mathbb{R^n}} f(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \equiv 1$$ Básicamente, integrar la función de densidad de probabilidad sobre todo el espacio real a lo largo de cada variable debería abarcar la probabilidad de cualquier cosa que sea posible, y por lo tanto debería ser $1$.
Como se mencionó en los comentarios, la integral que había escrito originalmente era divergente, lo que hace que la condición anterior sea falsa y, por lo tanto, la función no sea una distribución de probabilidad.
En tu caso, la integral tiene dos variables, por lo que la definición inicial se ve así: $$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} c\cdot(x+2y)\cdot e^{-(x+y)} dxdy \equiv 1$$ Debido a los límites del problema ($f(x,y)=0 ~ \forall x,y < 0$), puedes simplificar los límites a esto: $$\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} c\cdot(x+2y)\cdot e^{-(x+y)} dxdy \equiv 1$$ Vamos a factorizar el factor constante $c$, que se utiliza puramente para escalar la solución al $1$ requerido arriba. Además, distribuyamos sobre el término entre paréntesis. $$c \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} x\cdot e^{-(x+y)}+2y \cdot e^{-(x+y)} dxdy \equiv 1$$ Ahora, evaluemos primero la integración con respecto a $x$, e integraremos con respecto a $y en un momento: $$\int x\cdot e^{-(x+y)}+2y \cdot e^{-(x+y)} dx$$ Usa la sustitución u, con $u=-x-y ~ du=-dx ~ x=-u-y ~ dx=-du$: $$\int (-u-y)\cdot e^{u}-du=\int u\cdot e^{u}+y\cdot e^{u}du=(u-1)\cdot e^u+y\cdot e^{u} ~~~ \int 2y \cdot e^{-(x+y)} dx = 2y(-1)\cdot e^{-(x+y)}$$ Regresemos a las variables originales para poner los límites: $$(u-1)\cdot e^u+y\cdot e^u = (-x-y-1+y)\cdot e^{-x-y} = (-x-1)\cdot e^{-(x+y)}$$ $$\left[(-x-1)\cdot e^{-(x+y)} \right]_0^{\infty}=\left[\left(-\infty\cdot e^{-\infty}\right)-\left(-1\cdot e^{-y}\right)\right]=e^{-y}$$ $$\left[-2y\cdot e^{-(x+y)}\right]_0^{\infty}=\left[\left(-2y\cdot e^{-\infty}\right)-\left(-2y\cdot e^{-y}\right)\right]=2y\cdot e^{-y}$$
Ahora que tenemos la integración final con respecto a $x$, en realidad tenemos la distribución marginal de $f$ con respecto a $y. Integra esto para obtener los límites de $c$.
Haz la integral usando la sustitución u como antes (resultado evaluado en Wolfram Alpha): $$\int e^{-y}+2y\cdot e^{-y} dy=-e^{-y}-2(y+1)\cdot e^{-y}$$ Aplica los límites: $$\left[(-1-2y-2)\cdot e^{-y}\right]_0^{\infty}=\left[\left((-3-2\infty)\cdot e^{-\infty}\right)-\left((-3-2\cdot 0)\cdot e^{-0}\right)\right]=3$$ Dado que este valor final se multiplica por $c$ desde el comienzo del problema, sustitúyelo en: $$3c\equiv 1 \rightarrow c=\frac{1}{3}$$ ¡Exactamente lo que la gente en los comentarios dijo!
