Dado $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-a_0-a_1(x-x_0)-a_2(x-x_0)^2}{(x-x_0)^2} =0$ encontrar un contraejemplo ....

Question

Dé un contraejemplo de la siguiente afirmación: si $f$ y $f'$ son continuas en $x_0$ y existen constantes $a_0$, $a_1$ y $a_2$ tales que $$ \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-a_0-a_1(x-x_0)-a_2(x-x_0)^2}{(x-x_0)^2} =0 $$ entonces $f''(x_0)$ existe.

RE-edit:

Dado $f(x)=x^{4/3}$ y $f'(x)= \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}$ ambos continuos $\forall x \in \mathbb R$

Tenemos $f''(x)= \frac{4}{9} x^{-\frac{2}{3}}$ que no es continua en $x_0=0$.

¿Esto es correcto? ¿Suficiente? Muy apreciado

Answer 1

Pista: $f(x) = x^3\sin (1/x).\,\,\,$