Considera la matriz $$\eta_c=\left[ \begin{array}{c|c} -c^2 & 0 \\ \hline 0 & I \end{array} \right]$$ donde $I$ es la matriz identidad en $\mathbb R^{3\times 3}$. Si $c\neq 1$ y $A\in\mathbb R^{4\times 4}$, entonces $\eta_1=A^t\eta_1 A$ ("$A$ es un elemento de $O(1,3)$") and $\eta_c=A^t\eta_c A$ ("$A$ es una transformación de Lorentz") ¿no son equivalentes, verdad?
Respuesta
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Ley de inercia de Sylvester establece que para cualquier forma cuadrática $\eta'$ con la misma signatura que $\eta_1$ existe algún $A$ tal que $\eta' = A^t\eta_1 A$. No es difícil mostrar que $\Lambda\mapsto A^{-1}\Lambda A $ es un isomorfismo entre el grupo de isometría de $\eta_1$ y $\eta'$, ver también esta pregunta en math.SE.
Por lo tanto, todas las formas cuadráticas con signatura -1,1,1,1 tienen un grupo isomorfo a $\mathrm{O}(1,3)$ como su grupo de isometría, en particular todas tus $\eta_c$.
