Idealmente, un automorfismo $\phi$ de $H\times H$ se vería como $(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{smallmatrix})$, con
$$\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha(h_1)\beta(h_2) \\ \gamma(h_1)\delta(h_2) \end{pmatrix} \tag{$\circ$}$$
para algunas funciones $\alpha,\beta,\gamma,\delta:H\to H$ (estamos interpretando elementos de $H^2$ como vectores columna). Esto continúa con el espíritu de ${\rm Aut}(\Bbb Z/p\Bbb Z\times\Bbb Z/p\Bbb Z)\cong{\rm GL}_2(\Bbb Z/p\Bbb Z)$. Si restringimos el dominio o el codominio a los subgrupos $H\times 1$ o $1\times H$ vemos que $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ todos deben ser endomorfismos.
De hecho, al restringir el dominio y proyectar el codominio, vemos que $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ pueden determinarse directamente a partir de $\phi$. Para que la matriz sea un automorfismo, debemos tener
$$\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_1h_2 \\ h_3h_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} h_1 \\ h_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} h_2 \\ h_4 \end{pmatrix} $$
lo cual se convierte en
$$\begin{pmatrix} \alpha(h_1h_2)\beta(h_3h_4) \\ \gamma(h_1h_2)\delta(h_3h_4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha(h_1)\beta(h_3) \\ \gamma(h_1)\delta(h_3) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha(h_2)\beta(h_4) \\ \gamma(h_2)\delta(h_4) \end{pmatrix}$$
lo cual se convierte en
$$\begin{pmatrix} \alpha(h_1)\alpha(h_2)\beta(h_3)\beta(h_4) \\ \gamma(h_1)\gamma(h_2)\delta(h_3)\delta(h_4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha(h_1)\beta(h_3)\alpha(h_2)\beta(h_4) \\ \gamma(h_1)\delta(h_3)\gamma(h_2)\delta(h_4) \end{pmatrix}.$$
La cancelación produce $\alpha(h_2)\beta(h_3)=\beta(h_3)\alpha(h_2)$ y $\gamma(h_2)\delta(h_3)=\delta(h_3)\gamma(h_2)$ para todo $h_2,h_3\in H$, lo cual es equivalente a $[\alpha(H),\beta(H)]=[\gamma(H),\delta(H)]=1$. De hecho, estas últimas condiciones garantizan que $\phi$ esté de hecho dada por esta matriz. Se comprueba que estas condiciones se cumplen ya que $\alpha(H)$ y $\beta(H)$ son las imágenes $\phi(H\times1)$ y $\phi(1\times H)$, y sabemos que $[H\times 1,1\times H]=1\times 1$ lo cual se mantiene ya que $\phi$ es un automorfismo (una lógica similar se aplica a $\gamma,\delta$). Dado que las condiciones se mantienen en las entradas putativas de la matriz determinadas a partir de $\phi$, concluimos que $\phi$ está de hecho dada por esta matriz.
Ahora supongamos que $H$ es simple no abeliano.
Dado que $\alpha(H)\beta(H)=H$ y $[\alpha(H),\beta(H)]=1$, tanto $\alpha(H)$ como $\beta(H)$ son normales en $H$, y por lo tanto $\alpha(H)$, $\beta(H)$ son ambos o bien triviales o bien $H$. No es posible que ambos sean triviales ya que $(h_1,h_2)\mapsto\alpha(h_1)\beta(h_2)$ es sobreyectiva, ni es posible que ambos sean $H$ ya que $[\alpha(H),\beta(H)]=1$. Por lo tanto, uno de $\alpha,\beta$ es un automorfismo y el otro es el endomorfismo trivial (que denotaré como $0$). Lo mismo ocurre para $\gamma,\delta$ por la misma lógica. Sin embargo, la matriz no puede ser $(\begin{smallmatrix}\alpha & 0 \\ \beta & 0\end{smallmatrix})$ o $(\begin{smallmatrix} 0 & \alpha \\ 0 & \beta \end{smallmatrix})$ ya que estas funciones no son $1$-$1$.
En conclusión, cada automorfismo de $H^2$ se ve como $(\begin{smallmatrix}\alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{smallmatrix})$ o $(\begin{smallmatrix} 0 & \alpha \\ \beta & 0\end{smallmatrix})$ para automorfismos $\alpha,\beta$.
Antes de seguir adelante, quiero discutir productos libres, productos semidirectos y productos de corona. La mejor manera de entender intuitivamente el producto libre $A*B$ de dos grupos $A$ y $B$ es como el conjunto de todas las palabras formadas a partir de letras de los conjuntos subyacentes de $A$ y $B$, con la comprensión de que la concatenación de elementos de $A$ (o de $B$) juntos se simplifica según la operación binaria original en $A$ (o en $B$). Si un grupo $B$ actúa en un grupo $A$ mediante automorfismos, entonces el producto semidirecto denotado por $A\rtimes B$ es el producto libre $A*B$ módulo las relaciones $b(a)=bab^{-1}$ (es decir, que el conjugado de $a$ por $b$ en el producto semidirecto equivale a aplicar $b$ como un automorfismo a $a$). Dado que cada elemento del producto semidirecto se ve como $ab$ para algún $a\in A,b\in B$ de manera única, a veces el producto semidirecto se construye a partir del conjunto $A\times B$ escribiendo lo que sucede.
Si un grupo $B$ actúa por permutaciones en $\{1,\cdots,n\}$ entonces hay una acción inducida de $B$ por automorfismos sobre $A^n$: simplemente permutar las coordenadas de cualquier vector. Formar el producto semidirecto resultante $A^n\rtimes B$ produce el producto de corona, denotado $A\wr B$. En particular, considera $H\wr C_2$ (donde el elemento no trivial de $C_2$ es la permutación no trivial de las dos coordenadas). Cada elemento se ve como $(h_1,h_2)$ o $(h_1,h_2)\sigma$ con regla de multiplicación no trivial $(h_1,h_2)\sigma(h_3,h_4)\sigma=(h_1h_4,h_2h_3)$ (ya que $\sigma=\sigma^{-1}$, esto básicamente hace el conjugado $(h_3,h_4)$ por $\sigma$, que intercambia las coordenadas, y luego multiplicamos $(h_1,h_2)(h_4,h_3)$).
Te dejo a ti verificar que
$$\begin{pmatrix}\alpha & 0 \\ 0 & \beta\end{pmatrix}\mapsto (\alpha,\beta) \qquad \begin{pmatrix}0 & {\rm id}_H \\ {\rm id}_H & 0\end{pmatrix}\mapsto (e,e)\sigma $$
define un isomorfismo ${\rm Aut}(H^2)\cong {\rm Aut}(H)\wr C_2$.
Para más información, ver Automorfismos de Productos Directos de Grupos Finitos I y II. El primer artículo discute un teorema con grupos $H$ y $K$ más "perpendiculares" hipotéticos:
Teorema. Si $H$ y $K$ no tienen ningún factor directo en común entonces
$${\rm Aut} (H\times K)\quad \cong\quad \left\{\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} :~ \begin{matrix}\alpha\in{\rm Aut}(H) & \beta\in\hom(K,Z(H)) \\ \gamma\in\hom(H,Z(K)) & \delta\in{\rm Aut}(K)\end{matrix}\right\}.$$
