¿Cuándo se pueden levantar los K-automorfismos de la n-torsión de una curva elíptica E/K a K-endomorfismos de E?

Question

Sea $E/K$ una curva elíptica sobre un cuerpo numérico $K$ y sea $E[n]$ el $n$-torsión completa de $E$, para un entero positivo $n$. Con $End_K(E)$ denotamos los endomorfismos de $E/K$ que están definidos sobre $K y similarmente definimos $End_K(E[n])$ como los endomorfismos de $E[n]$ que están definidos sobre $K. Existe un mapa de restricción natural $$\phi: End_K(E) \rightarrow End_K(E[n]).$$ Estoy interesado en el caso en que la imagen de $\phi$ contiene $Aut_K(E[n])$, el conjunto de automorfismos de $E[n]$ que están definidos sobre $K. Mi pregunta es la siguiente:

Dado $E/K$, ¿siempre hay un límite inferior $n_0$, tal que para todo $n>n_0$ tenemos que la imagen de $\phi$ contiene $Aut_K(E[n])$?

¿Existen diferencias entre curvas CM o no CM?

¿Hay diferencias entre $\mathbb Q$ o un cuerpo numérico general $K$?

Si la respuesta a la pregunta anterior es sí, ¿existen resultados o conjeturas sobre un límite global $n_0(K)$ que sea válido para todas las curvas elípticas sobre un $K$ fijo?

Answer 1

Existe un entero positivo $n_0$ (que depende solo de $E$ y $K$) tal que el mapa $\phi$ es sobreyectivo si $n$ y $n_0$ son primos entre sí. Lo mismo es cierto no solo para curvas elípticas sino también para variedades abelianas arbitrarias sobre un campo finitamente generado. Ver Inv. Math. 79 (1985), 309-322; arXiv 1301.5594.