Encontrar valores exactos usando fórmulas de ángulo compuesto

Question

Encuentra el valor exacto de cada expresión:

1) $\sin{(-\frac{\pi}{2} +\frac{\pi}{3})}$ -Para esta pregunta, parece que podrías usar la fórmula de ángulo compuesto de suma $\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\sin{B}\cos{A}$, sin embargo debido al signo $-$ delante de $\frac{\pi}{2}$, no estoy seguro si esto sigue considerándose parte de los triángulos especiales. Sé que $\frac{\pi}{2}$ (90 grados) lo es. Por cierto, estas preguntas deben ser en medida de radianes.

2) $\tan{(\frac{7\pi}{12})}$ -Creo que esta se puede dividir en $\tan{(\frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12})}$ y obtener $\tan{(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3})}$ y luego introducir los valores en $\tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}$

3) $2\sin{\frac{\pi}{8}}\cos{\frac{\pi}{8}}$ -En esta no estoy seguro por dónde empezar. No sé qué identidad usar aquí ya que esto podría ser $\sin{a}\cos{b}$ y podría ser utilizado con suma o resta.

¡Si alguien pudiera ayudarme con estas preguntas, sería genial!

Answer 1

Pista:

La fórmula del Recuento $\sin(A+B)$ es válida para todos los valores finitos de $A,B$

$(1)$ ¿Qué tal $A=-\dfrac\pi2, B=\dfrac\pi3$?

$(2)$ Procede con la fórmula

$(3)$ Sustituye $A=B$ en la fórmula de $\sin(A+B)$

Answer 2

La primera pregunta se puede resolver con la fórmula de la diferencia de ángulos $$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$ donde $\alpha = \frac{\pi}{3}$ y $\beta = \frac{\pi}{2}$ ya que $-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2}$. La sustitución produce \begin{align*} \sin\left(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) & = \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2}\right)\\ & = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\\ & = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 - 1 \cdot \frac{1}{2}\\ & = 0 - \frac{1}{2}\\ & = -\frac{1}{2} \end{align*} Verificación:
\begin{align*} \sin\left(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) & = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\\ & = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\\ & = -\frac{1}{2} \end{align*> ya que la función seno es negativa en el cuarto cuadrante.

Answer 3

Para la tercera, podemos usar esta fórmula $$\sin(2A)=2\sin(A)\cos(A).$$ Entonces la respuesta será $1/\sqrt{2}$.