Valor esperado como integral de la función de supervivencia

Question

Sea $T$ una variable aleatoria positiva, $S(t)=\operatorname{P}(T\geq t)$. Demostrar que $$E[T]=\int^\infty_0 S(t)dt.$$ He intentado esto sin éxito.

Answer 1

$$A_t=[T\geqslant t]\qquad S(t)=E[\mathbf 1_{A_t}]\qquad T=\int_0^\infty\mathbf 1_{A_t}\,\mathrm dt$$

Answer 2

Considera cualquier $n > 0$, $$\begin{align*} \int_{t=0}^n t f_T(t) \, dt &= \int_{t=0}^n \left(\int_{s=0}^t \, ds\right) f_T(t) \, dt \\ &= \int_{t=0}^n \int_{s=0}^t f_T(t) \, ds \, dt \\ &= \int_{s=0}^n \int_{t=s}^n f_T(t) \, dt \, ds \\ &= \int_{s=0}^n F_T(n) - F_T(s) \, ds. \end{align*}$$ Luego, cuando $n \to \infty$, $F_T(n) \to 1$ y obtenemos $${\rm E}[T] = \int_{s=0}^\infty 1 - F_T(s) \, ds = \int_{s=0}^\infty S_T(s) \, ds.$$

Answer 3

Otra forma de pensar:

Considerando $n>0$, la integración por partes nos da

$\int_{0}^{n}xF(dx)=nF(n)-\int_{0}^{n}F(x)dx = n-nS(n)-\int_{0}^{n}(1-S(x))dx$

$=\int_{0}^{n}S(x)dx-nS(n)$

donde $S(x)=1-F(x)$ es la función de supervivencia.

A medida que $n\to \infty$, la segunda parte converge a cero. Para ver esto, notemos que $S(x)=\int_{x}^{\infty}f(t)dt$, siempre que exista $E(X)$,

$\lim_{x\to \infty}xS(x)=\lim_{x\to \infty} x\int_{x}^{\infty}f(t)dt \leq \lim_{x\to \infty} \int_{x}^{\infty}tf(t)dt=0$

Answer 4

Usando la integración por partes y el hecho de que $f(t)dt=dF(t)=-d(1-F(t))=-dS(t)$ $$ \begin{align*} E(T) = \int_0^\infty t f_T(t) \, dt &= \int_0^\infty -t\,dS(t) \\ &= \left. -tS(t) \right|_0^\infty - \int_0^\infty S(t) \, d(-t) \\ &= 0 + \int_0^\infty S(t) \, dt \\ &= \int_0^\infty S(t) \, dt. \end{align*} $$

Answer 5

Antecedentes. [Durrett, 2010, Ejercicio 1.7.2] Sea $g \geq 0$ una función medible en un espacio de medida sigma-finito $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$. Entonces \begin{align} \int_\Omega g \,d\mu = \int_0^\infty \mu(\{\omega : g(\omega) > y\}) \, d{y} \quad\quad\quad (1) \end{align} Cuando $\Omega=\mathbb{R}$, esto significa que el "área bajo la curva" de $g$ se puede obtener integrando secciones transversales verticales u horizontales. Esta igualdad se puede demostrar rápidamente mediante Fubini-Tonelli.

Argumento. Queremos mostrar que el valor esperado de una variable aleatoria $T$ es igual a la integral de su función de supervivencia; es decir, \begin{align} E[T] := \int_\Omega T(\omega) \, d{P(\omega)} = \int_0^\infty P(\omega: T(\omega) > y) \, dy \quad\quad\quad (2) \end{align}

Ahora, la Ecuación (2) se obtiene a partir de la Ecuación (1) simplemente tomando $\mu=P$ y la función de interés como la variable aleatoria, $g=T$. Aplicando la "Ley del Estadístico Inconsciente", podemos reescribir la Ecuación (2) en términos de la medida de probabilidad inducida $P_T$ en los subconjuntos borelianos de los reales: \begin{align} E[T] = \int_\mathbb{R} t \, d{P_T(t)} = \int_0^\infty P_T(t: t > y) \, dy \quad\quad\quad (3) \end{align}

Y así, la Ecuación (3) es solo un caso especial del hecho de que el área bajo una curva se puede obtener ya sea integrando secciones transversales verticales u horizontales.