Rango de $f(x)=ax^2-c$

Question

La función $f(x)=ax^2-c$ satisface $-4\le f(1) \le -1$ y $-1\le f(2) \le 5$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

(1)$-7\le f(3) \le 26$

(2)$-4\le f(3) \le 15$

(3)$-1\le f(3) \le 20$

(4)$-\frac {28}{3}\le f(3) \le \frac {35}{3}$

Mi enfoque es el siguiente

$f(1)=a-c$

$f(2)=4a-c$

$f(3)=9a-c$

$-4\le a-c \le -1$ y $-1\le 4a-c \le 5$

Necesitamos encontrar $a'\le 9a-c \le b'$, ¿cómo debo proceder?

Answer 1

Primero, considera cómo expresar $f(3)$ como una combinación lineal de $f(1)$ y $f(2)$ para que puedas usar efectivamente sus límites ajustados para determinar los límites de $f(3)$. Para hacer esto, para algunas constantes reales $d$ y $e$ tienes

$$\begin{equation}\begin{aligned} 9a - c & = d(a - c) + e(4a - c) \\ & = (d)a - (d)c + (4e)a - (e)c \\ & = (d + 4e)a + (-d - e)c \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

Igualando los coeficientes de $a$ y $c$ entre los lados izquierdo y derecho tenemos

$$d + 4e = 9 \tag{2}\label{eq2A}$$

$$-d - e = -1 \tag{3}\label{eq3A}$$

Sumando \eqref{eq2A} y \eqref{eq3A} obtenemos $3e = 8 \implies e = \frac{8}{3}$ lo cual, sustituyendo de regreso en \eqref{eq3A} nos da $-d - \frac{8}{3} = -1 \implies d = -\frac{5}{3}$. Esto ahora nos da

$$\begin{equation}\begin{aligned} f(3) & = 9a - c \\ & = - \frac{5}{3}(a - c) + \frac{8}{3}(4a - c) \\ & = - \frac{5}{3}f(1) + \frac{8}{3}f(2) \end{aligned}\end{equation}\tag{4}\label{eq4A}$$

A continuación, tenemos

$$-4\le f(1) \le -1 \implies \frac{20}{3} \ge -\frac{5}{3}f(1) \ge \frac{5}{3} \tag{5}\label{eq5A}$$

$$-1\le f(2) \le 5 \implies -\frac{8}{3} \le \frac{8}{3}f(2) \le \frac{40}{3} \tag{6}\label{eq6A}$$

Sumando \eqref{eq5A} y \eqref{eq6A} nos da, usando \eqref{eq4A}, que

$$\frac{5}{3} - \frac{8}{3} \le - \frac{5}{3}f(1) + \frac{8}{3}f(2) \le \frac{20}{3} + \frac{40}{3} \implies -1 \le f(3) \le 20 \tag{7}\label{eq7A}$$

Esto coincide con la opción ($3$).