¿Existe una versión combinatoria de la isotopía ambiental de PL en dimensión $>3$?

Question

El clásico Teorema de Reidemeister PL dice:

Teorema de Reidemeister: Dos nudos en $S^3$ son isotópicos PL si y solo si cualquier diagrama de uno puede transformarse en un diagrama del otro mediante los movimientos de Reidemeister.

Recordemos que la isotopía PL de $K_1\colon\, S^1\hookrightarrow S^3$ a $K_2\colon\, S^1\hookrightarrow S^3$ es una aplicación PL preservadora de la orientación de $S^{3}\times I$ a $S^3$, cuya restricción a un mapa de $S^{3}\times \{t\}$ a $S^3$ es un homeomorfismo PL para cada $t\in I$, cuya restricción a $S^{3}\times \{0\}$ es el mapa identidad, y cuya restricción a $S^{3}\times \{1\}$ compuesta con $K_1$ es $K_2$.

Sin embargo, cada fuente que conozco (ver aquí) demuestra una versión a priori más débil del teorema, en la que "isotopía PL" se reemplaza por "isotopía combinatoria", lo que significa: "relacionado por una secuencia finita de movimientos de triángulos" - reemplazando 2 (o 1) aristas de un triángulo que no interseca al nudo en su interior con la otra(s) arista(s). Ver por ejemplo estas notas de J. Roberts. De hecho, esta es la versión del Teorema de Reidemeister que Reidemeister mismo probó.

Creo que el hecho poco citado pero a menudo usado de que la isotopía PL coincide con la isotopía combinatoria de nudos en $S^3$ se demuestra (en el caso más general de enlaces, que se extiende también a grafos enlazados como señala Kauffman) en:

Graeub, W. (1950). Die semilinearen abbildungen (pp. 3-70). Springer Berlin Heidelberg.

Pregunta 1: ¿Existe una prueba de este hecho en inglés? Tengo dificultades con el alemán.

Pregunta 2: ¿Existe una versión combinatoria de la isotopía PL en dimensiones superiores? Específicamente, me interesa el caso de un politopo mixto de 1 y 2 dimensiones incrustado en una 4-esfera PL, de modo que los únicos puntos no-variedad estén en los extremos de líneas quebradas, donde se encuentran con otras líneas o planos quebrados. El candidato obvio son los movimientos de triángulos, movimientos "tetraedro", y un "movimiento de dimensiones mixtas" para mover un entorno de la intersección de una línea con un plano, que es un poco más difícil de escribir. ¿Se encuentra la prueba de esto en algún lugar, y se conoce y se muestra la versión general? (Estoy bastante seguro de que no está en el libro de Graeub, pero tal vez sigue trivialmente de alguna manera).

Answer 1

Desafortunadamente, esto no es exactamente una respuesta. Así que para superficies en 4-espacio, existe el Teorema de Roseman. Creo que el contexto de la prueba de Dennis está en la categoría suave. O ciertamente la prueba que conozco depende de una estructura suave. Imagino que la prueba podría ser elevada a PL-localmente plano, pero tengo mis dudas sobre los puntos de ramificación no simples. Roseman esboza el caso de dimensiones superiores también, y este esbozo sigue la clasificación de multi-germenes, o en realidad imágenes reales de multi-germenes complejos. Si me das N, y una cantidad suficientemente grande de tiempo, creo que puedo resolver todos los movimientos a mano, pero nuevamente en una categoría suave.

Entonces, fundamentalmente la idea es tomar un embebido de codimensión 2, y proyectarlo en el espacio de (n+1). Hacerlo genéricamente. Ahora examinar los puntos críticos e intersecciones de una isotopía. Puedes construir toda la teoría inductivamente. Tus R-movimientos y eventos críticos en la dimensión N se convierten en las singularidades en la dimensión N+1. Mi artículo sobre los movimientos RR para espumas en el arxiv puede ser utilizado para completar los detalles en el caso suave.