Prueba del teorema de convergencia monótona para la expectativa condicional

Question

Que

• $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ sea un espacio de probabilidad
• $\mathcal F$ sea una $\sigma$-álgebra en $\Omega$ con $\mathcal F\subseteq\mathcal A$
• $X_n,X$ sean variables aleatorias no negativas en $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$

El teorema de convergencia monótona para la expectativa condicional establece que si $X_n\uparrow X$ casi seguramente, entonces $$\operatorname E\left[X_n\mid\mathcal F\right]\stackrel{n\to\infty}\to\operatorname E\left[X\mid\mathcal F\right]\;.$$

Claramente, por la monoticidad de la expectativa condicional, $$Z:=\lim_{n\to\infty}\operatorname E\left[X_n\mid\mathcal F\right]$$ existe. Dado que cada $\operatorname E\left[X_n\mid\mathcal F\right]$ es $\mathcal F$-medible por definición, $Z$ también es $\mathcal F$-medible.

¿Por qué no es tan claro que $$\operatorname E\left[X_n\mid\mathcal F\right]\uparrow Z\;?\tag{1}$$ Todas las pruebas que he leído hasta ahora solo afirman que hay una modificación (versión) de $Z$ con $(1)$.

Claramente, la expectativa condicional solo está determinada de manera única casi en todas partes. Por lo tanto, la monoticidad solo nos da $$\operatorname E\left[X_n\mid\mathcal F\right]\le \operatorname E\left[X_{n+1}\mid\mathcal F\right]$$ en $\Omega\setminus N_n$ para algún conjunto $\operatorname P$-nulo $N_n\subseteq\Omega$. Sin embargo, dado que $$N:=\bigcup_nN_n$$ también es un conjunto $\operatorname P$-nulo, deberíamos ser capaces de concluir inmediatamente que $(1)$ se cumple en $\Omega\setminus N$, es decir, casi en todas partes.

Entonces, ¿qué estoy olvidando?

Answer 1

Como señaló John Dawkins, tenemos que probar que $Z=\mathbb E\left[X\mid\mathcal F\right]$, lo cual no está claro a priori. Esto se basa en $$\mathbb E\left[Z\mathbf 1_{F}\right]= \lim_{n\to +\infty}\mathbb E\left[\mathbb E\left[X_n\mid\mathcal F\right]\mathbf 1_{F}\right]=\lim_{n\to +\infty}\mathbb E\left[X_n\mathbf 1_{F}\right]=\mathbb E\left[X\mathbf 1_{F}\right]$$ para $F\in\mathcal F$. El primer y tercer signo igual se deben a la convergencia monótona, el segundo por definición de expectativa condicional.