¿Cómo calculamos factoriales para números con lugares decimales?

Question

Estaba jugando con mi calculadora cuando intenté $1.5!$. Resultó ser $1.32934038817$.

Ahora mi pregunta es, ¿no es el factorial solo para números naturales? Por ejemplo, $2!$ es $2\times1$, pero ¿cómo expresamos $1.5!$ de esta manera?

Answer 1

El factorial de un número racional se define mediante la función Gamma. Un enlace está en los comentarios.

Puesto que,

$n!=n\times (n-1)!$

$\Gamma(n)=(n-1)!$

$n!=n \cdot \Gamma(n)$

$\Gamma \left(\dfrac 12\right)=\sqrt\pi$

Entonces, $$1.5!= \left(\dfrac 32\right)!= \left(\dfrac 32\right) \cdot \left(\dfrac 12\right)!= \left(\dfrac 32\right) \cdot \left(\dfrac 12\right) \cdot \Gamma{\left(\dfrac 12\right)} = \dfrac 34 \sqrt \pi$$

Esto puede ser útil.