El Teorema de Gauss-Bonnet (para superficies orientables sin borde) establece que para la superficie $M$, con curvatura gaussiana en un punto $K$, tenemos $$\int_M K\ dA=2\pi\chi(M).$$ En este momento, esto solo me dice que la integral de algo que no me interesa es igual a la razón de una circunferencia al radio de un círculo (euclidiano) por algo que sí me importa. Entiendo por qué la curvatura normal es interesante. Entiendo que la curvatura gaussiana es importante en el Teorema Egregium y en la clasificación de superficies de curvatura constante. En el primero, ayuda a clasificar superficies hasta isometría y muestra que las superficies desarrollables están regladas. En el segundo, nos dice que las variedades Riemannianas con grupos de isometría transitivos tienen localmente una estructura de una selección muy pequeña. Pero eso es solo la curvatura gaussiana dándonos otras cosas. No entiendo por qué debería gustarme por su propio bien, y como tal, por qué debería preocuparme por Gauss-Bonnet. Entiendo que vincula la geometría diferencial y la topología, pero tal vez haya otras formas de hacer esto, y esta se siente un poco enrevesada, y la topología ya está vinculada a las variedades diferenciales, y por lo tanto, a las variedades Riemannianas, a través de Poincare-Hopf.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que uno no necesita preocuparse por la curvatura o las características de Euler para reconocer a Gauss-Bonnet como algo sorprendente.
Una variedad es simplemente un espacio topológico. Cuando lo conviertes en una variedad de Riemann, agregas alguna estructura adicional. Y es una pregunta natural "¿de cuántas formas diferentes puedo hacer esto?". Visualmente, una estructura Riemanniana en una, digamos, esfera topológica le da una forma de papa más o menos deformada. Y esto puede volverse bastante salvaje hasta un punto en el que ya no se pueda insertar en $\Bbb R^3$. ¿Entonces existen restricciones?
Observa las siguientes dos cosas sobre Gauss-Bonnet.
- Cualquiera que sea la noción de curvatura, está definida puramente en términos de la estructura Riemanniana, y está completamente determinada por ella.
- Cuando integras la curvatura sobre la variedad, ¡ya no depende de la estructura Riemanniana!
¿No es eso sorprendente? Acabamos de descubrir que las estructuras Riemannianas no pueden ser elegidas completamente arbitrariamente.
