Me encontré con un pequeño malentendido mientras intentaba calcular los valores esperados de algunos operadores en mecánica cuántica.
Supongamos que tenemos alguna función que hemos definido como $ f(x) $. Digamos que hay algún operador $ \hat{A} $, y en el formalismo de Schroedinger, esto se representa como la función $ f(x) $.
Sabemos que $$\langle \hat{A}\rangle = \int \psi^* (x,t) f(x) \psi (x,t) dx$$
Aquí, se asume que la función de onda está normalizada.
Sin embargo, ahora tomemos una función de onda diferente $\psi(u,t)$, donde $ u=g(x) $. Debemos calcular el valor esperado de $\hat{A}$ con respecto a esta nueva función de onda.
Mi pregunta es, ¿es $\hat{A}$ todavía $ f(x) $? ¿O trivialmente se convierte en $ f(u) $? Me inclino a creer que sigue siendo $ f(x) $, y la integral ahora sería la siguiente:
$$\langle \hat{A}\rangle = \frac{\int \psi^* (u,t) f(x) \psi(u,t) dx}{\int \psi^* (u,t) \psi(u,t) dx} = \frac{\int \psi^* (u,t) [f \circ g^{-1}(u)] \psi(u,t) \frac{du}{g'(x)}}{\int \psi^* (u,t) \psi(u,t) \frac{du}{g'(x)}}$$
Aquí he transformado de $x$ a $u$ y he hecho que $u$ sea la variable dependiente en la integral.
¿Por qué hacemos esto exactamente? ¿Por qué no intercambiamos directamente $x$ y $u$? ¿Es porque, el operador está definido como $ f(x) $, y por lo tanto, en cualquier sistema de coordenadas, seguiría siendo $ f(x) $ y no $ f(u) $ directamente. Para hacer que $u$ sea la variable dependiente, tendríamos que usar $f(x)=f \circ g^{-1} (u)$. No podemos intercambiar trivialmente $u$ y $x$.
Entonces, al definir una función, ¿siempre se hace con respecto a un sistema de coordenadas $ x $, en este ejemplo? Si nos movemos a un nuevo sistema de coordenadas, la función sigue siendo $ f(x) $ y necesitamos encontrar alguna transformación para representarla en este nuevo sistema. ¿Es esto correcto, y hay alguna explicación más intuitiva para esto?
En la mecánica clásica, en el caso de cualquier transformación de coordenadas, sucede lo mismo. En algunos sistemas de coordenadas, digamos $ F=F(r) $, donde $ r $ es la distancia desde el origen. En otros sistemas, la distancia desde el origen es $ r' $. La fuerza en este nuevo sistema no es $ F(r') $. En cambio, sigue siendo $ F(r) = F(r'+d) $. ¿Esto sucede porque estamos definiendo la fuerza con respecto a un sistema de coordenadas particular? ¿Está sucediendo lo mismo en el caso del operador cuántico anterior?
Definimos el operador de posición en la imagen de Schrödinger como $\hat{x}=x$. En otro sistema de coordenadas donde $ u=f(x) $, ¿el operador de posición sigue siendo $\hat{x}=x=f^{-1}(u)$, o trivialmente se convierte en $\hat{u}=u$?
Cualquier ayuda sería muy apreciada.
