Esta pregunta concierne al campo escalar dual (multiplicador de Lagrange) $\lambda$, que aparece en discusiones de la $T$-dualidad (por ejemplo, en la sección 7.5.1 de las notas de David Tong donde se le llama $\tilde\phi$).
En particular, aunque está claro que $\lambda$ no puede ser no compacto, no entiendo por qué debe ser periódico en $2\pi$.
Considerando la signatura lorentziana, con la convención $\eta_{00}=1=-\eta_{11}$ y $\epsilon^{01}=1=-\epsilon^{10}$.
Considera una teoría de mapas $\phi : \mathbb{R} \times S^1 \to S^1$ con la acción funcional \begin{equation} S[\phi] = \int d^2x \frac{R^2}{2}(\partial\phi)^2.\tag{7.49} \end{equation}
El objetivo es identificar las condiciones en el campo $\lambda$ que producen la equivalencia de las integrales funcionales, $$ \int[d\phi]e^{iS[\phi]}=\int[db][d\lambda]e^{iS[b,\lambda]} $$ donde \begin{equation} S[b,\lambda] = \int d^2x \left[ \frac{R^2}{2}b^2 + \frac{1}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu}b_\mu\partial_\nu\lambda \right]. \end{equation} Argumento de contradicción: Si $\lambda$ fuera un escalar no compacto, entonces al integrar funcionalmente sobre $\lambda$ se obtiene una restricción funcional delta $\delta[\epsilon^{\mu\nu} \partial_\mu b_\nu]$. Esto significa que las configuraciones del campo pueden restringirse a la forma $b_\mu = \partial_\mu \phi$ para un escalar no compacto $\phi$. Por lo tanto, $\lambda$ no puede ser no compacto.
Ahora, listaré dos enfoques sin éxito que he explorado, los cuales asumen que el $\lambda$ es periódico en $2\pi$.
Enfoque 1: Integrando por partes y utilizando una discretización de la red en la parte relevante de la integral funcional se tiene \begin{align} \int [d\lambda]\exp\left[i\int d^2 x \frac{1}{2\pi} \lambda(\epsilon^{\mu\nu}\partial_\mu b_\nu)\right] & \sim \prod_x \int_{0}^{2\pi} d\lambda(x) \exp\left[i\frac{1}{2\pi} \lambda(x) \epsilon^{\mu\nu}\partial_\mu b_\nu(x)\right] \\ & = \prod_x \frac{2\pi i}{\lambda(x) \epsilon^{\mu\nu}\partial_\mu b_\nu(x)}\left[1-e^{i\lambda(x) \epsilon^{\mu\nu}\partial_\mu b_\nu(x)}\right] \end{align} ¡Este enfoque parece estar en la dirección incorrecta!
Enfoque 2: Nuevamente trabajando en la red, intento incorporar la periodicidad de $\lambda$ a través del operador derivado: \begin{align} \int [d\lambda]\exp\left[i\int d^2 x \frac{1}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu}b_\mu \partial_\nu \lambda\right] = \sum_{n_{x,\nu}}\prod_x \int_{-\pi}^\pi d \lambda_x \exp\left[i \sum_{x,\nu} \frac{1}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu}b_\mu(\lambda_x - \lambda_{x+e_\nu}+2\pi n_{x,\nu})\right] \end{align} Esto parece más prometedor, aunque no está claro cómo proceder.
Enfoque 3 (siguiendo a @dtstrl):
Expandiendo \begin{align} \lambda & = \sum_i \lambda_i \psi_i \\ b_\mu & = \sum_j \alpha_j Y_{\mu,j} + \sum_i \beta_i (\partial_\mu \psi_i) \end{align} donde $\psi_i$ y $Y_{\mu,j}$ son funciones propias (ortogonalizadas) (transversas).
Sustituyendo en la acción, integrando por partes y utilizando la antisimetría del símbolo de permutación y el hecho de que $\partial_\nu$ anula el modo cero de $\lambda$, obtengo
\begin{align} \int d^2 x \frac{1}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu}b_\mu \partial_\nu \lambda & = \frac{1}{2\pi}\sum_{i\neq 0} \sum_{j} \alpha_j \lambda_i \int d^2 x \, \epsilon^{\mu\nu} Y_{\mu,j}\partial_\nu \psi_i \\ & = \frac{1}{2\pi}\sum_{i\neq 0} \lambda_i \int d^2 x \, \epsilon^{\mu\nu} b^\perp_\mu(x)\partial_\nu \psi_i \end{align}
Luego
\begin{align} &\int[d\lambda]\exp\left[i\int d^2 x \frac{1}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu}b_\mu \partial_\nu \lambda\right] = \\ & \int d\lambda_0 \prod_{i\neq 0}\left[\int d\lambda_i \exp\left(i\frac{1}{2\pi}\lambda_i \int d^2 x \, \epsilon^{\mu\nu} b^\perp_\mu(x)\partial_\nu \psi_i \right)\right] \end{align}
La finitud de la integral funcional parece reafirmar el hecho de que $\lambda_0$ es compacto. Sin embargo, no está claro cómo proceder para mostrar la periodicidad en $2\pi$.
Enfoque 4: Una observación interesante es que si integramos por partes en $\lambda$ y luego exigimos que la funcional $e^{i S[b,\lambda]}$ sea invariante bajo la transformación $\lambda(x) \mapsto \lambda(x) + 2\pi$ entonces obtenemos $$\exp\left[-\frac{i}{2\pi}\int d^2 x \partial_\mu (\epsilon^{\mu\nu}b_\nu)\right]=1$$ lo cual es equivalente a la ecuación (7.51) de Tong. No estoy seguro de qué hacer con esto.
