Si $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ está definida por $f(x,y)=x^2+xy$. ¿Cuál es el significado de la derivada/transformación lineal, en el punto $(1,2)$?

Question

Supongamos que $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ está definida por $f(x,y)=x^2+xy$.

El gradiente es $(2x+y, x)$ y por lo tanto el Jacobiano es $\begin{bmatrix} 2x+y& x\end{bmatrix}$.

En el punto $(1,2)$, la derivada es la transformación lineal $\begin{bmatrix} 4& 1\end{bmatrix}$, que es la matriz de la transformación $T(x,y)=4x+y$.

Como ejemplo, la derivada direccional en la dirección de $(1,1)$ es $\begin{bmatrix} 4& 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}=5/\sqrt{2}$. Lo cual entiendo es la pendiente del plano tangente en la dirección de $(1,1)$.

Sin embargo, no estoy entendiendo qué representa exactamente la transformación lineal $T(x,y)=4x+y$ representada por la matriz $\begin{bmatrix} 4& 1\end{bmatrix}$.

El plano tangente es tangente al gráfico de $f$ en el punto $f(1,2)=3$; es decir, en el punto $(1,2,3) \in \mathbb R^3$.

Entonces, ¿qué representa exactamente la transformación lineal $\begin{bmatrix} 4& 1\end{bmatrix}$?

¿Qué está siendo transformado?

Answer 1

En dos dimensiones, puedes moverte en un círculo's worth de direcciones. Estas direcciones se toman en un espacio tangente alrededor del punto en el que se calcula la derivada. En tu ejemplo, ese es el punto $(1,2)$.

La derivada $[4,1]$ significa que si me muevo en una cantidad $(dx_1, dx_2)$ desde $(1,2)$ entonces me moveré $dy = 4dx_1+dx_2$ desde $3$ que es $f(1,2)$.

En general, si $f:\mathbb R^m\to\mathbb R^n$ es diferenciable en $(x_1,...,x_m)$ entonces $Df(x_1,...,x_m)$ es un mapa lineal que mapea $(dx_1,...,dx_m)$ a $(dy_1,...,dy_n)$ donde $(dx_1,...,dx_m)$ está en el espacio tangente de $(x_1,...,x_m)$ y $(dy_1,...,dy_n)$ está en el espacio tangente de $f(x_1,...,x_m)$.

Answer 2

La ecuación del plano tangente en $(1,2)$ es $$z=3+4(x-1)+1(y-2)$$

Así, la transformación [4,1] aproxima linealmente tu función cerca del punto $(1,2,3)$ y tenemos $$\Delta z \approx 4\Delta x + 1\Delta y$$