Algunas identidades del fermión de Majorana

Question

Llevo bastante tiempo luchando con estas identidades del fermión de Majorana. Estaría agradecido si alguien puede ayudarme con ellas.

Sea $\lambda$ , $\theta$ y $\psi$ sea $4$ -fermiones de Majorana. Entonces aparentemente lo siguiente es cierto,

• $(\bar{\theta}\gamma_5 \theta)(\bar{\psi}_L\theta)(\bar{\theta}\gamma^\mu \partial_\mu \psi_L) = \frac{1}{4}(\bar{\theta}\gamma_5 \theta)^2 (\bar{\psi}_L\gamma^\mu \partial_\mu \psi_L)$

• $(\bar{\theta}\gamma_5 \theta)(\partial _ \mu \bar{\psi}_L \gamma^\mu \theta)(\bar{\theta}\psi_L) = -\frac{1}{4}(\bar{\theta}\gamma_5 \theta)^2 (\partial_\mu \bar{\psi}_L\gamma^\mu \psi_L)$

• $(\bar{\theta}\gamma _5 \gamma _\mu \theta)(\bar{\psi}_L\theta)(\bar{\theta}\psi_L) = \frac{1}{4} (\bar{\theta}\gamma _5 \theta)^2 (\bar{\psi}\gamma ^\mu \psi)$

• $(\bar{\theta}\gamma_5 \theta)(\bar{\psi}_L\theta)(\bar{\theta}\lambda) = \frac{1}{4} (\bar{\theta}\gamma _5 \theta)^2 (\bar{\psi}_L\lambda)$

Supongo que mirando a lo anterior que todos los 4 tienen algún patrón genérico y por lo tanto probablemente requieren alguna misma idea clave que me estoy perdiendo. No me queda claro cómo "sacar" la idea clave. $\theta$ s entre los otros fermiones hacia el exterior y luego volver a empaquetar entonces en un $(\bar{\theta}\gamma_5 \theta)$ . Estaré encantado de recibir ayuda en relación con lo anterior.

Answer 1

Son primos más complicados de las identidades Fierz,

http://en.wikipedia.org/wiki/Fierz_identity

El artículo anterior también te recomienda el libro de Okun para la receta general para probar identidades similares. Ten en cuenta que todas las identidades que has escrito, excepto la tercera, son identidades de Fierz normales porque el primer factor puede anularse, ya que aparece (una vez) tanto en el lado izquierdo como en el derecho.

El hecho de que no sea trivial demostrar esas identidades no significa que no sean ciertas. Si las reescribes correctamente, son ciertas. Puedes confiar en que son ciertas. En principio, puedes verificarlas escribiendo los valores más generales de los espinores $\theta$ y $\psi$ (y $\lambda$ en el último caso) -en términos de cuatro componentes complejos cada uno (reducidos a dos complejos por la condición de Majorana)- y calculando los valores explícitos de los productos de los productos internos. Las identidades anteriores se mantendrán. Es inevitable que se cumplan algunas identidades de forma similar, porque sólo hay cuatro componentes en cada variable y el número de monomios del grado correcto en esas componentes es limitado, por lo que pueden escribirse de distintas formas.

Las identidades espinoriales pueden resultar muy técnicas, sobre todo si se trabaja con dimensiones superiores o supersimetría ampliada.

Answer 2

Si vas a trabajar mucho en 4 dimensiones, puede que merezca la pena aprender la notación de dos componentes. Se utiliza en los libros de texto, por ejemplo, de Srednicki , Buchbinder y Kuzenko o el exhaustivo artículo de Dreiner, Haber y Martin . La notación de dos componentes tiene la ventaja de que los objetos de 4 dimensiones se descomponen en el suma directa (o algo similar) de objetos bidimensionales, que tienen menos invariantes e identidades.

Utilizaré las convenciones de B&K (que creo que difieren ligeramente de las de la pregunta).

Los espinores de cuatro componentes adoptan la forma $$\psi_a = \begin{pmatrix}\psi_\alpha \\ \bar\psi^{\dot\alpha}\end{pmatrix} \,, \quad \bar\psi^a = \begin{pmatrix}\psi^\alpha & \bar\psi_{\dot\alpha}\end{pmatrix}$$ y las matrices gamma y de proyección $$\gamma_a = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_a \\ \tilde\sigma_a & 0 \end{pmatrix}\,,\quad \gamma_5 = -i \gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \,,\quad$$ $$P_L = \frac12 (1 + \gamma_5) \,, \quad P_R = \frac12 (1 - \gamma_5)$$ los espinores izquierdo y derecho son entonces $$\psi_L = P_L\psi = \begin{pmatrix}\psi \\ 0 \end{pmatrix} \,, \quad \psi_R = P_R\psi = \begin{pmatrix} 0 \\ \bar\psi \end{pmatrix} \,, \quad$$ donde nunca debería haber ninguna razón para confundir un espinor de 2 y 4 componentes.

Los espinores bilineales son $$\bar\theta \theta = \theta^2 + \bar\theta^2 \,,\quad \bar\theta \gamma_5 \theta = \theta^2 - \bar\theta^2$$ etc..., donde la convención de contracción es $\theta^2 = \theta^\alpha \theta_\alpha$ y $\bar\theta^2 = \bar\theta_{\dot\alpha} \bar\theta^{\dot\alpha}$ .

Entonces, para comprobar su identidad final (por ejemplo), el lado izquierdo es $$(\bar\theta\gamma_5\theta)(\bar\psi_L\theta)(\bar\theta\lambda) = (\theta^2-\bar\theta^2)(\bar\psi\bar\theta)(\theta\lambda+\bar\theta\bar\lambda) = (\theta^2-0)(-\frac12\bar\theta^2)(\bar\psi\bar\lambda) = -\frac12\theta^2\,\bar\theta^2\,\bar\psi\bar\lambda$$ donde utilizamos el hecho de que $\theta^3=\theta_{\alpha_1}\theta_{\alpha_2}\theta_{\alpha_3}=0$ y análogamente para $\bar\theta^3=0$ . También utilizamos las importantes identidades $$\begin{align} \theta_\alpha \theta^\beta &= -\frac12\theta^2\delta_\alpha^\beta \,,& \bar\theta^{\dot\alpha}\bar\theta_{\dot\beta} &=-\frac12\bar\theta^2\delta_{\dot\beta}^{\dot\alpha} \ . \end{align}$$ El lado derecho es $$\frac14(\bar\theta\gamma_5\theta)^2(\bar\psi_L\lambda) = \frac14(\theta^2-\bar\theta^2)(\theta^2-\bar\theta^2)(\bar\psi\bar\lambda) = -\frac12\theta^2\bar\theta^2\bar\psi\bar\lambda$$ así que la última identidad se verifica.

El resto de las identidades pueden comprobarse de forma similar.

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Edita:

Como parece que hay un poco de confusión para las otras identidades, aquí están sus pruebas. Como soy perezoso, he suprimido todos los índices. Por ejemplo $\bar\theta\partial\psi =\bar\theta_{\dot\alpha}\tilde\sigma^{\dot\alpha\alpha}_a\partial^a\psi_\alpha =-(\partial^a\psi_\alpha)\tilde\sigma^{\dot\alpha\alpha}_a\bar\theta_{\dot\alpha} =-(\partial_a\psi^\alpha)\sigma_{\alpha\dot\alpha}^a\bar\theta^{\dot\alpha} =-\psi\overleftarrow{\partial}\bar\theta\ .$

Identidad 1: $$LHS = (\theta^2-\bar\theta^2)(\bar\psi\bar\theta)(\bar\theta\partial\psi) = (\theta^2-0)(-\frac12\bar\theta^2)(\bar\psi\partial\psi) = -\frac12\theta^2\bar\theta^2(\bar\psi\partial\psi)$$ $$RHS = \frac14(\theta^2-\bar\theta^2)^2(\bar\psi\partial\psi) = LHS$$

La identidad 2 es básicamente el resultado del conjugado complejo.

Identidad 3: Creo que tienes un error en esta (ignorando el problema obvio de la no coincidencia $\mu$ índice). Esto se debe a que $(\bar{\psi}\gamma ^\mu \psi)=0$ si insertamos un $\gamma_5$ por lo que es como el término de la izquierda es no evanescente $(\bar{\psi}\gamma_5\gamma_\mu \psi)=2\psi\sigma_\mu\bar\psi$ . Así que $$LHS = (\theta\sigma_\mu\bar\theta-\bar\theta\tilde\sigma_\mu\theta)(\bar\psi\bar\theta)(\psi\theta) = 2(\psi\theta)(\theta\sigma_\mu\bar\theta)(\bar\theta\bar\psi) = \frac12\theta^2\bar\theta^2 (\psi\sigma_\mu\bar\psi)$$ $$RHS = \frac{1}{4} (\bar{\theta}\gamma _5 \theta)^2 (\bar{\psi}\gamma_5\gamma_\mu\psi) = -\theta^2\bar\theta^2(\psi\sigma_\mu\bar\psi)$$ por lo que parece estar fuera por un factor de $-1/2$ . (Aunque puede que haya contado mal los factores de 1/2).