Si vas a trabajar mucho en 4 dimensiones, puede que merezca la pena aprender la notación de dos componentes. Se utiliza en los libros de texto, por ejemplo, de Srednicki , Buchbinder y Kuzenko o el exhaustivo artículo de Dreiner, Haber y Martin . La notación de dos componentes tiene la ventaja de que los objetos de 4 dimensiones se descomponen en el suma directa (o algo similar) de objetos bidimensionales, que tienen menos invariantes e identidades.
Utilizaré las convenciones de B&K (que creo que difieren ligeramente de las de la pregunta).
Los espinores de cuatro componentes adoptan la forma ψa=(ψαˉψ˙α),ˉψa=(ψαˉψ˙α) y las matrices gamma y de proyección γa=(0σa˜σa0),γ5=−iγ0γ1γ2γ3=(100−1), PL=12(1+γ5),PR=12(1−γ5) los espinores izquierdo y derecho son entonces ψL=PLψ=(ψ0),ψR=PRψ=(0ˉψ), donde nunca debería haber ninguna razón para confundir un espinor de 2 y 4 componentes.
Los espinores bilineales son ˉθθ=θ2+ˉθ2,ˉθγ5θ=θ2−ˉθ2 etc..., donde la convención de contracción es θ2=θαθα y ˉθ2=ˉθ˙αˉθ˙α .
Entonces, para comprobar su identidad final (por ejemplo), el lado izquierdo es (ˉθγ5θ)(ˉψLθ)(ˉθλ)=(θ2−ˉθ2)(ˉψˉθ)(θλ+ˉθˉλ)=(θ2−0)(−12ˉθ2)(ˉψˉλ)=−12θ2ˉθ2ˉψˉλ donde utilizamos el hecho de que θ3=θα1θα2θα3=0 y análogamente para ˉθ3=0 . También utilizamos las importantes identidades θαθβ=−12θ2δβα,ˉθ˙αˉθ˙β=−12ˉθ2δ˙α˙β . El lado derecho es 14(ˉθγ5θ)2(ˉψLλ)=14(θ2−ˉθ2)(θ2−ˉθ2)(ˉψˉλ)=−12θ2ˉθ2ˉψˉλ así que la última identidad se verifica.
El resto de las identidades pueden comprobarse de forma similar.
Edita:
Como parece que hay un poco de confusión para las otras identidades, aquí están sus pruebas. Como soy perezoso, he suprimido todos los índices. Por ejemplo ˉθ∂ψ=ˉθ˙α˜σ˙ααa∂aψα=−(∂aψα)˜σ˙ααaˉθ˙α=−(∂aψα)σaα˙αˉθ˙α=−ψ←∂ˉθ .
Identidad 1: LHS=(θ2−ˉθ2)(ˉψˉθ)(ˉθ∂ψ)=(θ2−0)(−12ˉθ2)(ˉψ∂ψ)=−12θ2ˉθ2(ˉψ∂ψ) RHS=14(θ2−ˉθ2)2(ˉψ∂ψ)=LHS
La identidad 2 es básicamente el resultado del conjugado complejo.
Identidad 3: Creo que tienes un error en esta (ignorando el problema obvio de la no coincidencia μ índice). Esto se debe a que (ˉψγμψ)=0 si insertamos un γ5 por lo que es como el término de la izquierda es no evanescente (ˉψγ5γμψ)=2ψσμˉψ . Así que LHS=(θσμˉθ−ˉθ˜σμθ)(ˉψˉθ)(ψθ)=2(ψθ)(θσμˉθ)(ˉθˉψ)=12θ2ˉθ2(ψσμˉψ) RHS=14(ˉθγ5θ)2(ˉψγ5γμψ)=−θ2ˉθ2(ψσμˉψ) por lo que parece estar fuera por un factor de −1/2 . (Aunque puede que haya contado mal los factores de 1/2).