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Algunas identidades del fermión de Majorana

Llevo bastante tiempo luchando con estas identidades del fermión de Majorana. Estaría agradecido si alguien puede ayudarme con ellas.

Sea λλ , θθ y ψψ sea 44 -fermiones de Majorana. Entonces aparentemente lo siguiente es cierto,

  • (ˉθγ5θ)(ˉψLθ)(ˉθγμμψL)=14(ˉθγ5θ)2(ˉψLγμμψL)(¯θγ5θ)(¯ψLθ)(¯θγμμψL)=14(¯θγ5θ)2(¯ψLγμμψL)

  • (ˉθγ5θ)(μˉψLγμθ)(ˉθψL)=14(ˉθγ5θ)2(μˉψLγμψL)(¯θγ5θ)(μ¯ψLγμθ)(¯θψL)=14(¯θγ5θ)2(μ¯ψLγμψL)

  • (ˉθγ5γμθ)(ˉψLθ)(ˉθψL)=14(ˉθγ5θ)2(ˉψγμψ)(¯θγ5γμθ)(¯ψLθ)(¯θψL)=14(¯θγ5θ)2(¯ψγμψ)

  • (ˉθγ5θ)(ˉψLθ)(ˉθλ)=14(ˉθγ5θ)2(ˉψLλ)

Supongo que mirando a lo anterior que todos los 4 tienen algún patrón genérico y por lo tanto probablemente requieren alguna misma idea clave que me estoy perdiendo. No me queda claro cómo "sacar" la idea clave. θ s entre los otros fermiones hacia el exterior y luego volver a empaquetar entonces en un (ˉθγ5θ) . Estaré encantado de recibir ayuda en relación con lo anterior.

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Nick Puntos 583

Son primos más complicados de las identidades Fierz,

http://en.wikipedia.org/wiki/Fierz_identity

El artículo anterior también te recomienda el libro de Okun para la receta general para probar identidades similares. Ten en cuenta que todas las identidades que has escrito, excepto la tercera, son identidades de Fierz normales porque el primer factor puede anularse, ya que aparece (una vez) tanto en el lado izquierdo como en el derecho.

El hecho de que no sea trivial demostrar esas identidades no significa que no sean ciertas. Si las reescribes correctamente, son ciertas. Puedes confiar en que son ciertas. En principio, puedes verificarlas escribiendo los valores más generales de los espinores θ y ψ (y λ en el último caso) -en términos de cuatro componentes complejos cada uno (reducidos a dos complejos por la condición de Majorana)- y calculando los valores explícitos de los productos de los productos internos. Las identidades anteriores se mantendrán. Es inevitable que se cumplan algunas identidades de forma similar, porque sólo hay cuatro componentes en cada variable y el número de monomios del grado correcto en esas componentes es limitado, por lo que pueden escribirse de distintas formas.

Las identidades espinoriales pueden resultar muy técnicas, sobre todo si se trabaja con dimensiones superiores o supersimetría ampliada.

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Patrick Puntos 20392

Si vas a trabajar mucho en 4 dimensiones, puede que merezca la pena aprender la notación de dos componentes. Se utiliza en los libros de texto, por ejemplo, de Srednicki , Buchbinder y Kuzenko o el exhaustivo artículo de Dreiner, Haber y Martin . La notación de dos componentes tiene la ventaja de que los objetos de 4 dimensiones se descomponen en el suma directa (o algo similar) de objetos bidimensionales, que tienen menos invariantes e identidades.

Utilizaré las convenciones de B&K (que creo que difieren ligeramente de las de la pregunta).

Los espinores de cuatro componentes adoptan la forma ψa=(ψαˉψ˙α),ˉψa=(ψαˉψ˙α) y las matrices gamma y de proyección γa=(0σa˜σa0),γ5=iγ0γ1γ2γ3=(1001), PL=12(1+γ5),PR=12(1γ5) los espinores izquierdo y derecho son entonces ψL=PLψ=(ψ0),ψR=PRψ=(0ˉψ), donde nunca debería haber ninguna razón para confundir un espinor de 2 y 4 componentes.

Los espinores bilineales son ˉθθ=θ2+ˉθ2,ˉθγ5θ=θ2ˉθ2 etc..., donde la convención de contracción es θ2=θαθα y ˉθ2=ˉθ˙αˉθ˙α .

Entonces, para comprobar su identidad final (por ejemplo), el lado izquierdo es (ˉθγ5θ)(ˉψLθ)(ˉθλ)=(θ2ˉθ2)(ˉψˉθ)(θλ+ˉθˉλ)=(θ20)(12ˉθ2)(ˉψˉλ)=12θ2ˉθ2ˉψˉλ donde utilizamos el hecho de que θ3=θα1θα2θα3=0 y análogamente para ˉθ3=0 . También utilizamos las importantes identidades θαθβ=12θ2δβα,ˉθ˙αˉθ˙β=12ˉθ2δ˙α˙β . El lado derecho es 14(ˉθγ5θ)2(ˉψLλ)=14(θ2ˉθ2)(θ2ˉθ2)(ˉψˉλ)=12θ2ˉθ2ˉψˉλ así que la última identidad se verifica.

El resto de las identidades pueden comprobarse de forma similar.


Edita:

Como parece que hay un poco de confusión para las otras identidades, aquí están sus pruebas. Como soy perezoso, he suprimido todos los índices. Por ejemplo ˉθψ=ˉθ˙α˜σ˙ααaaψα=(aψα)˜σ˙ααaˉθ˙α=(aψα)σaα˙αˉθ˙α=ψˉθ .

Identidad 1: LHS=(θ2ˉθ2)(ˉψˉθ)(ˉθψ)=(θ20)(12ˉθ2)(ˉψψ)=12θ2ˉθ2(ˉψψ) RHS=14(θ2ˉθ2)2(ˉψψ)=LHS

La identidad 2 es básicamente el resultado del conjugado complejo.

Identidad 3: Creo que tienes un error en esta (ignorando el problema obvio de la no coincidencia μ índice). Esto se debe a que (ˉψγμψ)=0 si insertamos un γ5 por lo que es como el término de la izquierda es no evanescente (ˉψγ5γμψ)=2ψσμˉψ . Así que LHS=(θσμˉθˉθ˜σμθ)(ˉψˉθ)(ψθ)=2(ψθ)(θσμˉθ)(ˉθˉψ)=12θ2ˉθ2(ψσμˉψ) RHS=14(ˉθγ5θ)2(ˉψγ5γμψ)=θ2ˉθ2(ψσμˉψ) por lo que parece estar fuera por un factor de 1/2 . (Aunque puede que haya contado mal los factores de 1/2).

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