Si vas a trabajar mucho en 4 dimensiones, puede que merezca la pena aprender la notación de dos componentes. Se utiliza en los libros de texto, por ejemplo, de Srednicki , Buchbinder y Kuzenko o el exhaustivo artículo de Dreiner, Haber y Martin . La notación de dos componentes tiene la ventaja de que los objetos de 4 dimensiones se descomponen en el suma directa (o algo similar) de objetos bidimensionales, que tienen menos invariantes e identidades.
Utilizaré las convenciones de B&K (que creo que difieren ligeramente de las de la pregunta).
Los espinores de cuatro componentes adoptan la forma $$ \psi_a = \begin{pmatrix}\psi_\alpha \\ \bar\psi^{\dot\alpha}\end{pmatrix} \,, \quad \bar\psi^a = \begin{pmatrix}\psi^\alpha & \bar\psi_{\dot\alpha}\end{pmatrix} $$ y las matrices gamma y de proyección $$ \gamma_a = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_a \\ \tilde\sigma_a & 0 \end{pmatrix}\,,\quad \gamma_5 = -i \gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \,,\quad $$ $$ P_L = \frac12 (1 + \gamma_5) \,, \quad P_R = \frac12 (1 - \gamma_5) $$ los espinores izquierdo y derecho son entonces $$ \psi_L = P_L\psi = \begin{pmatrix}\psi \\ 0 \end{pmatrix} \,, \quad \psi_R = P_R\psi = \begin{pmatrix} 0 \\ \bar\psi \end{pmatrix} \,, \quad $$ donde nunca debería haber ninguna razón para confundir un espinor de 2 y 4 componentes.
Los espinores bilineales son $$ \bar\theta \theta = \theta^2 + \bar\theta^2 \,,\quad \bar\theta \gamma_5 \theta = \theta^2 - \bar\theta^2 $$ etc..., donde la convención de contracción es $\theta^2 = \theta^\alpha \theta_\alpha$ y $\bar\theta^2 = \bar\theta_{\dot\alpha} \bar\theta^{\dot\alpha}$ .
Entonces, para comprobar su identidad final (por ejemplo), el lado izquierdo es $$ (\bar\theta\gamma_5\theta)(\bar\psi_L\theta)(\bar\theta\lambda) = (\theta^2-\bar\theta^2)(\bar\psi\bar\theta)(\theta\lambda+\bar\theta\bar\lambda) = (\theta^2-0)(-\frac12\bar\theta^2)(\bar\psi\bar\lambda) = -\frac12\theta^2\,\bar\theta^2\,\bar\psi\bar\lambda $$ donde utilizamos el hecho de que $\theta^3=\theta_{\alpha_1}\theta_{\alpha_2}\theta_{\alpha_3}=0$ y análogamente para $\bar\theta^3=0$ . También utilizamos las importantes identidades $$ \begin{align} \theta_\alpha \theta^\beta &= -\frac12\theta^2\delta_\alpha^\beta \,,& \bar\theta^{\dot\alpha}\bar\theta_{\dot\beta} &=-\frac12\bar\theta^2\delta_{\dot\beta}^{\dot\alpha} \ . \end{align}$$ El lado derecho es $$ \frac14(\bar\theta\gamma_5\theta)^2(\bar\psi_L\lambda) = \frac14(\theta^2-\bar\theta^2)(\theta^2-\bar\theta^2)(\bar\psi\bar\lambda) = -\frac12\theta^2\bar\theta^2\bar\psi\bar\lambda $$ así que la última identidad se verifica.
El resto de las identidades pueden comprobarse de forma similar.
Edita:
Como parece que hay un poco de confusión para las otras identidades, aquí están sus pruebas. Como soy perezoso, he suprimido todos los índices. Por ejemplo $\bar\theta\partial\psi =\bar\theta_{\dot\alpha}\tilde\sigma^{\dot\alpha\alpha}_a\partial^a\psi_\alpha =-(\partial^a\psi_\alpha)\tilde\sigma^{\dot\alpha\alpha}_a\bar\theta_{\dot\alpha} =-(\partial_a\psi^\alpha)\sigma_{\alpha\dot\alpha}^a\bar\theta^{\dot\alpha} =-\psi\overleftarrow{\partial}\bar\theta\ .$
Identidad 1: $$ LHS = (\theta^2-\bar\theta^2)(\bar\psi\bar\theta)(\bar\theta\partial\psi) = (\theta^2-0)(-\frac12\bar\theta^2)(\bar\psi\partial\psi) = -\frac12\theta^2\bar\theta^2(\bar\psi\partial\psi) $$ $$ RHS = \frac14(\theta^2-\bar\theta^2)^2(\bar\psi\partial\psi) = LHS $$
La identidad 2 es básicamente el resultado del conjugado complejo.
Identidad 3: Creo que tienes un error en esta (ignorando el problema obvio de la no coincidencia $\mu$ índice). Esto se debe a que $(\bar{\psi}\gamma ^\mu \psi)=0$ si insertamos un $\gamma_5$ por lo que es como el término de la izquierda es no evanescente $(\bar{\psi}\gamma_5\gamma_\mu \psi)=2\psi\sigma_\mu\bar\psi$ . Así que $$ LHS = (\theta\sigma_\mu\bar\theta-\bar\theta\tilde\sigma_\mu\theta)(\bar\psi\bar\theta)(\psi\theta) = 2(\psi\theta)(\theta\sigma_\mu\bar\theta)(\bar\theta\bar\psi) = \frac12\theta^2\bar\theta^2 (\psi\sigma_\mu\bar\psi) $$ $$ RHS = \frac{1}{4} (\bar{\theta}\gamma _5 \theta)^2 (\bar{\psi}\gamma_5\gamma_\mu\psi) = -\theta^2\bar\theta^2(\psi\sigma_\mu\bar\psi) $$ por lo que parece estar fuera por un factor de $-1/2$ . (Aunque puede que haya contado mal los factores de 1/2).