Hay un problema en mi libro:
¿De cuántas formas se puede responder a un examen de 20 preguntas con preguntas de dos opciones?
lo resolvería de la siguiente manera:
Dado que hay 20 preguntas, y cada pregunta tiene dos opciones, hay $20 \cdot {{2} \choose 1}$ pero estoy equivocado según la solución escrita en el libro. ¿Por qué no puedo hacerlo de esta manera? Sé cuál es la respuesta correcta, solo quiero saber por qué mi solución no funciona en este caso.
Vamos a ver qué cuenta en realidad $20\binom{2}{1}$. Para cualquier pregunta, como la séptima, tienes $\binom{2}{1}$ opciones. Por lo tanto, hay $\binom{2}{1}$ formas de responder la séptima pregunta y dejar en blanco todas las demás. Ahora, tu $20\binom{2}{1}$ cuenta todas las formas diferentes de responder exactamente una de las $20$ preguntas y dejar las demás en blanco.
Mi candidato para la respuesta correcta es $3^{20}$. Porque en cualquier pregunta, podemos elegir la primera respuesta, o la segunda, o decidir que la pregunta es demasiado difícil y pasar a la siguiente pregunta.
Pero el libro probablemente dio $2^{20}$. Piensa en elegir la primera respuesta a una pregunta como la letra $a$, y elegir la segunda respuesta como la letra $b$. Entonces, el número de formas de responder cada pregunta es simplemente el número de "palabras" de longitud $20$ sobre el alfabeto $\{a,b\}$.
Una forma útil de ver si se tiene la respuesta correcta es contar manualmente en casos "pequeños" y verificar la fórmula propuesta contra esa cuenta. Para $n=1$, tu método da $2$, lo cual es correcto. Para $n=2$, tu método da $4$, lo cual es correcto. Hasta ahí vamos bien. Para $n=3$, tu método da $6$, lo cual no es correcto: la lista da $8$ formas.
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