Al usar solo la definición de una sucesión de Cauchy, ¿cómo podría mostrar que $s_n=n^2$ no es una sucesión de Cauchy?

Question

Aquí está lo que tengo, Let $\epsilon>0$. Entonces existe un N tal que $m,n>N \implies |n^2-m^2|<\epsilon.$ Así que ahora tenemos que encontrar un $N$ que haga cierta la implicación. Entonces, $|n^2-m^2|<\epsilon=n^2<\epsilon+m^2=n<\sqrt{\epsilon+m^2}$. Sin embargo, esto puede volverse arbitrariamente grande para $m$ grande. Por lo tanto, la secuencia $s_n$ no es de Cauchy.

Supongo que esto se puede escribir de manera más formal, pero solo quiero saber si lo que he escrito es correcto.

Answer 1

Supongamos que $\epsilon<1$. Entonces para cualquier $n\neq m$, $|n^2-m^2|>\epsilon$.

Para utilizar su demostración, también podría asumir que $\epsilon\leq 1$. Entonces $$n<\sqrt{\epsilon+m^2}\leq \sqrt{(1+m)^2}=1+m$$ no es verdadero si $n\geq m+1$, lo cual también muestra que esta no es una sucesión de Cauchy.

Es más fácil elegir un valor de $\epsilon$ donde nunca podemos elegir los $n$ y $m$ deseados. También se puede demostrar que puede superar cualquier $\epsilon$ eligiendo $n>m+\epsilon+1$, de manera que $|n^2-m^2|>m^2+2(\epsilon+1)m+(\epsilon+1)^2-m^2=2(\epsilon+1)m+(\epsilon+1)>\epsilon$.

Answer 2

Para $n \neq m$, $|n^{2} - m^{2}| \in \mathbb{Z}$, $|n^{2} - m^{2}| \neq 0$. No hay un entero entre $0$ y $1$, así que si eliges $\epsilon = \frac{1}{2}$, entonces $|m^{2} - n^{2}| > \epsilon$ siempre que $m \neq n$.

Answer 3

Tienes que demostrar que la secuencia no es de Cauchy. Una secuencia ${a_n}$ es de Cauchy si para cada $\epsilon>0$ la afirmación: "Existe $N$ tal que $n, m>N$ $\implies |a_n-a_m| < \epsilon$" es verdadera.

Entonces, para demostrar que la secuencia no es de Cauchy, necesitamos demostrar que para al menos un número en particular $\alpha$, la afirmación: "Existe $N$ tal que $n, m>N$ $\implies |a_n-a_m| < \alpha$" es falsa. Esto significa que para ese $\alpha$: "Para todo $N$ existen $n, m>N$ tales que $|a_n-a_m| > \alpha$" es verdadero.

Así que tienes que elegir un valor de $\alpha$ y demostrar la afirmación: "Para todo $N$ existen $n, m>N$ tales que $|a_n-a_m| > \alpha$"

Answer 4

Detallaré mi comentario: Sea $a_n$ una sucesión de Cauchy: $ \epsilon >0 ; m,n>N \implies |a_n-a_m|<\epsilon. $

$ \implies n>N ; |a_n| \leq \epsilon + |a_{N+1}| $

Por lo tanto, $(a_n)$ está acotada.

Ahora, tu sucesión obviamente no está acotada, por lo que no puede ser una sucesión de Cauchy.