Tengo una pregunta de seguimiento a Problemas en entender un pasaje en la demostración del teorema de Grün para la transferencia. En el libro de Kurzweil y Stellmacher, también se concluye que
$G\neq O^p(G) \iff H\neq O^p(H)$.
Aquí $O^p(G)$ es el subgrupo normal más pequeño con grupo $p$-factor.
Mi intento: Si $G=O^p(G)$, entonces $G$ no tiene ningún subgrupo normal propio con grupo $p$-factor. En particular, $G$ no tiene ningún subgrupo normal propio con grupo Abeliano $p$-factor. Entonces, $G= G'(p)$. Por lo tanto, $H= H'(p)$. Así, $H$ no tiene ningún subgrupo normal propio con grupo Abeliano $p$-factor.
Sin embargo, para concluir que $H=O^p(H)$, necesito que $H$ no tenga ningún subgrupo normal propio con grupo $p$-factor. ¿Cómo se puede mostrar esto?
Edit: La afirmación precisa del teorema es: Sea $P$ un Sylow subgrupo $p$-subgrupo de un grupo finito $G$ y $Z\leq Z(P)$ sea débilmente cerrado en $P$. Sea $H:=N_G(Z)$. Entonces $P\cap G'=P\cap H'$ y $P/(P\cap G')\simeq G/G'(p) \simeq H/H'(p)$. En particular, $$G\neq O^p(G) \iff H\neq O^p(H).$$
Mi duda es sobre cómo demostrar la equivalencia mostrada.
