¿Realmente necesitamos Opción de elegir los calcetines?

Question

Se dice que usted necesita el Axioma de Elección para escoger un calcetín de cada uno de un número infinito de pares, pero que no la necesita para los zapatos, ya que sólo puede elegir todos los de la izquierda zapatos.

Pero la Elección es equivalente a la afirmación de que todo conjunto puede ser bien ordenado, ¿verdad? Y no puede ser bien el fin de una a dos elementos (o cualquier finito) establecer, sin invocar cualquier cosa relacionada con la Elección? Si es así, no significa eso que no tenemos Opción de elegir los calcetines después de todo?

Answer 1

El axioma de elección no es necesario elegir uno de un par de calcetines. Hacer que cada mañana, cuando te pones los calcetines. De hecho, incluso si usted tiene una infinidad de calcetines, la elección de uno no requiere el axioma de elección. Tampoco la elección de cinco, o diez calcetines. Que sólo existencial de la creación de instancias y la inducción.

El axioma de elección es necesaria con el fin de elegir infinitamente muchas parejas a la vez. La razón es que entre los dos calcetines, no hay una "izquierda" o "derecha", y no hay ninguna propiedad que la distingue de que siempre podemos decir que "le da un par de calcetines, uno de ellos es tal y tal". Y así el axioma de elección es realmente necesario para que.

Más formalmente, Fraenkel, y más tarde Cohen, mostró que este argumento es matemáticamente sólido. Es coherente que el axioma de elección falla, y hay un conjunto que es el contable de la unión de los pares, pero no hay ninguna función que elige un solo elemento de cada par.

Answer 2

Creo que Asaf la respuesta de arriba es generalmente excelente, pero voy a añadir un par de pensamientos. Creo que este es un lugar donde las metáforas que usamos para expresar que las matemáticas pueden fallar, ya que a menudo hay varias capas de precisión que se pierden en la metáfora, y ser más y más torpe de seguir la pista de. Por ejemplo: cuando decimos "infinitamente muchos pares de calcetines", no queremos decir "infinitamente muchas copias del mismo par de calcetines" como en ese caso, podríamos haber mantenido un seguimiento de donde un solo calcetín de la original pareja pasó en cada copia (una especie de). En lugar queremos decir una colección de infinitamente muchos diferentes pares de calcetines. Ahora usted podría objetar que seguramente podríamos identificar todos estos juntos como una pareja. Pero, ¿cómo exactamente? Digamos que tenemos dos papeleras "Calcetín de 1" y "de Calcetín de 2". Tenemos que tomar uno de el primer par de calcetines y tirarlo en "Calcetín de 1" y uno de la segunda par ... . Puede que observe que hemos usado el axioma de elección.

Para hacer algunas de las más precisos: supongamos que tenemos un infinito conjunto de índices $I$. A continuación, "infinitamente muchas copias de la misma pareja" se corresponde con el conjunto de funciones de $$f: I \to \{sock_1,sock_2\}$$

mientras que el axioma de elección metáfora corresponde a la toma de una colección de dos elementos y conjuntos de $A_i$, y, a continuación, encontrar una función $$I \a \bigcup_{i\in I} A_i$$ Tal que $f(i) \in A_i$ por cada $i$. Esta sutil diferencia es que vale la pena meditar.

Answer 3

Usted todavía necesita axioma de elección para elegir un orden determinado para cada par de calcetines (esto es equivalente a elegir un calcetín para cada pareja de hecho). Esto no sucede para los zapatos desde pares de zapatos vienen con un orden predefinido.