Estoy tratando de hacer un ejercicio en un libro y aquí está la pregunta. Lo he intentado pero no estoy seguro de si mi respuesta es correcta. Agradecería si alguien corrige mi intento. Nota aquí que la pregunta tiene 3 partes...
Pregunta: Sea $Y$ un esquema integral (un esquema que es reducido e irreducible), y $U$ un subesquema abierto no vacío. Sea $I$ un conjunto no vacío y para todo $i\in I$, definimos $U_{i}=U_{ii}=Y$ y $U_{ij}=U$ si $i\neq j$. Sea $\phi_{ji}:U_{ij}\rightarrow U_{ji}$ el morfismo identidad y $X$ un esquema pegado a lo largo de $\phi_{ij}$.
1) Necesitamos demostrar que para todo $V$ subconjunto abierto de $X$, y para todo $i\in I$, tenemos un isomorfismo $\Gamma(V,\mathcal{O}_{X})\rightarrow \Gamma(V\cap U_{i},\mathcal{O}_{X})$.
Intento
Dado que $Y$ es irreducible y cerrado, tiene un punto genérico $\eta$ que está en todo conjunto abierto, y por lo tanto está en $U$. Entonces $X$ tiene también un punto genérico que es $\eta. Considero la inclusión de esquemas $i:U_{i}\rightarrow X$. Por lo tanto, esto induce el morfismo de campos de funciones:
$\displaystyle i^{\#}_{\eta}:\mathcal{O}_{X,\eta}\rightarrow \mathcal{O}_{U_{i},\eta},$
que es un isomorfismo (¿creo? porque $U_{i}\subseteq X$). Por lo tanto, para cada $x\in X$, tenemos un isomorfismo $\mbox{Frac}(\mathcal{O}_{X,x})\rightarrow \mbox{Frac}((i_{*}\mathcal{O}_{U_{i}})_{x})$, y por lo tanto (creo que esto es cierto) un isomorfismo de gérmenes $i^{\#}_{x}: \mathcal{O}_{X,x}\rightarrow (i_{*}\mathcal{O}_{U_{i}})_{x}$. Esto significa que $i^{\#}:\mathcal{O}_{X}\rightarrow i_{*}\mathcal{O}_{U_{i}}$ es un isomorfismo (en esta etapa solo sé que es una biyección, así que estoy dando un salto de fe aquí y concluyo que es un isomorfismo), lo cual es exactamente lo que queremos (espero).
2) Supongamos que $U\neq Y$, deduzca de (1) que $X$ no es un esquema afín.
Intento
Estoy atascado en este desde hace mucho tiempo, y esto es lo mejor que se me ocurre. Si $X=(\mbox{Spec}A,\mathcal{O}_{\mbox{Spec}A})$, usando el resultado anterior, tenemos un isomorfismo $A\rightarrow \Gamma(X\cap U_{i},\mathcal{O}_{X})=\Gamma(U_{i},\mathcal{O}_{U_{i}})=\Gamma(Y,\mathcal{O}_{Y})$. Ahora, fijamos $V=U_{j}$ donde $j\neq i$. Luego nuevamente tenemos un isomorfismo
$\Gamma(Y,\mathcal{O}_{Y})=\Gamma(U_{j},\mathcal{O}_{X})\rightarrow\Gamma(U_{i}\cap U_{j},\mathcal{O}_{X})=\Gamma(U,\mathcal{O}_{X})$
(Creo que este isomorfismo es sospechoso pero lo aceptaré con fe). Ahora mi esperanza es que dado que $U$ es un subconjunto abierto propio de $X$, y $X$ es un esquema afín, la restricción a un subconjunto abierto propio de $\mbox{Spec}A$ nunca inducirá un isomorfismo de secciones. Pero esto es lo que vemos ya que $\Gamma(X,\mathcal{O}_{X})\cong \Gamma(U,\mathcal{O}_{X})$.
3) Ahora suponga que $Y$ es un esquema noetheriano y $U\neq Y$. Demuestre que $X$ es integral y localmente noetheriano. Además, muestre que $X$ es cuasi-compacto si y solo si el conjunto de indexación $I$ es finito.
Para mostrar que $X$ es cuasi-compacto si el conjunto de indexación es finito, esto viene del hecho de que $Y$ es cuasi-compacto. Para mostrar que $X$ es localmente noetheriano, dado que $Y$ admite un recubrimiento afín abierto $V_{i}$ tal que $\Gamma(V_{i},\mathcal{O}_{Y})$ es noetheriano, entonces $X$ admite un recubrimiento afín abierto, donde la sección de cada uno de los subconjuntos abiertos del recubrimiento es noetheriano. No puedo responder por qué $X$ debería ser un esquema integral.
Observación: Sé que es un poco largo, pero aprecio mucho si alguien me ayuda a revisar mis demostraciones.
¡Gracias!
